Faça a análise da posição relativa entre as retas r e s nos casos abaixo:
r:\left\{\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4} \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=6-t \y=1+t, \z=5+2 t\end{array} \quad t \in \mathbf{R}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre as retas r e s em \mathbb{R}^3. Para isso vamos usar geometria analítica de retas no espaço: extrair vetores diretores, checar paralelismo e, se não forem paralelas, verificar se há ponto comum (interseção).

Passo 2

Da forma simétrica
r:\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4}
vemos o vetor diretor de r\) \[\vec v_r=(2,3,4).
Da forma paramétrica
s:\begin{cases} x=6-t,\\\ y=1+t,\\\ z=5+2t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}
temos o vetor diretor de s\] \[\vec v_s=(-1,1,2).\] Para testar se são paralelas, tentamos \(\vec v_r=\lambda\vec v_s. Pelas componentes, não existe \lambda que satisfaça simultaneamente
2=-\lambda,\quad3=\lambda,\quad4=2\lambda,
logo não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, podem ser concorrentes (intersectam) ou reversas (espaço 3D e sem interseção). Vamos parametrizar r definindo um parâmetro u tal que
x=-2+2u,\quad y=-6+3u,\quad z=-3+4u.
Procuramos u e t que resolvam o sistema
\begin{cases} -2+2u=6-t,\\\\ -6+3u=1+t,\\\\ -3+4u=5+2t. \end{cases}

Passo 4

Das duas primeiras equações:
-2+2u=6-t\implies2u+t=8,
-6+3u=1+t\implies3u-t=7.
Somando-as obtemos 5u=15, ou seja u=3. Substituindo em 2u+t=8 t=2. Verificamos na terceira linha:
-3+4\cdot3=9,\quad5+2\cdot2=9,
ok. Logo existe interseção em
P=(x,y,z)=(4,3,9).

Resposta

As retas r e s não são paralelas e se intersectam no ponto P=(4,3,9). Portanto são retas concorrentes.

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