A reta r passa pelo ponto \mathrm{A}(5,2,-3) e é paralela à reta
s:\left\{\begin{array}{l} x=1-3 t \\\ y=-2 t, \\\ z=4+t \end{array} \quad t \in \mathbf{R}\right.
Se P(a,-3, b) \in r, determine os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de P(a,-3,b) numa reta r que passa por A(5,2,-3) e é paralela à reta
s:\begin{cases} x=1-3\,t,\\\ y=-2\,t,\\\ z=4+t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolvido é geometria no espaço: representação paramétrica de retas, vetor diretor e condição de colinearidade.

Passo 2

Da equação paramétrica de s extraímos o vetor diretor
\vec v = (-3,\,-2,\,1).
Como r é paralela a s, seu vetor diretor também é \vec v.

Passo 3

Para que P(a,-3,b) pertença a r, o vetor \overrightarrow{AP} deve ser paralelo a \vec v. Calculamos
\overrightarrow{AP} = P - A = (\,a-5,\;-3-2,\;b-(-3)\,) = (\,a-5,\;-5,\;b+3\,).
Devemos ter \overrightarrow{AP} = \lambda\vec v para algum \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 4

Do sistema de componentes
\begin{cases} a-5 = -3\lambda,\\\\ -5 = -2\lambda,\\\ b+3 = \lambda, \end{cases}
usamos a segunda linha para achar \lambda:
-5 = -2\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}.
Substituindo em a-5 = -3\lambda e em b+3 = \lambda, vem
a-5 = -3\cdot\frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = 5 - \frac{15}{2} = -\frac{5}{2},
b+3 = \frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}.

Resposta

a = -\frac{5}{2},\quad b = -\frac{1}{2}.

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