Determine o erro cometido, e=|De<a y-d y|, na aproximação por diferenciais da função y=1x^2, quando x=2 e De<a x=0,01.

Passo 1

O enunciado pede o erro
e = l|De<a y - dyr|
na aproximação por diferenciais da função
y = 1x^2
quando x=2 e De<a x=0,01. Vamos usar definição de diferencial e uma expansão de Taylor de ordem 2 (ou cálculo direto de De<a y) para comparar De<a y exato com dy.

Passo 2

Calculamos primeiro a diferencial dy. Como
y = x^-2,
temos
dydx = -2x^-3,
logo em x=2 e De<a x=0,01
dy = dydxl|x=2,De<a x = -2cdot2^-3cdot0,01 = -28cdot0,01 = -0,0025

Passo 3

Agora a variação exata
De<a y = f(2+0,01)-f(2). Usando expansão de Taylor de f(x)=x^-2 em torno de x=2, com De<a x=0,01:
f(2+De<a x) =14,1(1+De<a x2)^2 =14l(1-2De<a x2+3(De<a x)^24+cdotsr) =14-De<a x4+3(De<a x)^216+cdots
Então
De<a y =f(2+0,01)-f(2) =-0,014+3,(0,01)^216 =-0,0025+0,00001875 =-0,00248125

Passo 4

Finalmente o erro
e = l|De<a y - dyr| =l|-0,00248125-(-0,0025)r| =0,00001875

Resposta

e = 1,875times10^-5

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