Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 3}{4 n}

Passo 1

O enunciado apresenta a série sumn=1^infty (-1)^n-134n. O conteúdo é séries alternadas, e vamos precisar do teste da série alternada e da soma da série harmônica alternada.

Passo 2

Para aplicar o teste da série alternada, definimos bn=34n. Note que bn>0, é decrescente e limntoinftybn=0. Assim, pela convergência de séries alternadas (critérios de Leibniz), a série converge.

Passo 3

Para calcular a soma, fatoramos o constante tfrac34:
sumn=1^infty (-1)^n-134n = 34sumn=1^infty (-1)^n-1n
Sabendo que a série harmônica alternada é
sumn=1^infty (-1)^n-1x^nn = ln(1+x) para -1<x<=1,
tomando x=1 resulta em sumn=1^infty(-1)^n-11n=ln2.

Passo 4

Substituindo, obtemos
sumn=1^infty (-1)^n-134n = 34,ln2

Resposta

34ln2

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