Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 3}{4 n}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 3}{4 n}
Passo 1
O enunciado apresenta a série
. O conteúdo é séries alternadas, e vamos precisar do teste da série alternada e da soma da série harmônica alternada.
Passo 2
Para aplicar o teste da série alternada, definimos
. Note que
, é decrescente e
. Assim, pela convergência de séries alternadas (critérios de Leibniz), a série converge.
Passo 3
Para calcular a soma, fatoramos o constante
:
Sabendo que a série harmônica alternada é
tomando
resulta em
.
Passo 4
Substituindo, obtemos