Determine o erro da estimativa, para o preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de 95 \%, dado que S=6,69 (retirado do exercício anterior), para uma amostra de 35 bilhetes.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o erro da estimativa (ou margem de erro) para o preço médio de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, com nível de confiança de 95\%.
Dados fornecidos:
  • Desvio padrão amostral: S = 6{,}69 (valor retirado do exercício anterior).
  • Tamanho da amostra: n = 35.
  • Nível de confiança: 95\%, ou seja, \alpha = 0{,}05 e \alpha/2 = 0{,}025.

Passo 2

Entender qual distribuição usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Quando a variância populacional \sigma^2 é desconhecida (aqui só temos S), e vamos construir intervalo de confiança para a média, usa-se a distribuição t de Student para ajustar a incerteza extra que vem de estimar \sigma por S.
  • O parâmetro importante da t é o número de graus de liberdade: \text{df} = n-1. Aqui \text{df} = 35-1=34.
  • Precisamos do quantil crítico t_{\alpha/2,\;n-1} = t_{0{,}025,\;34}. Consultando tabela de t para \text{df}=34 acha-se aproximadamente t_{0{,}025,\;34}\approx 2{,}032.
  • Observação prática: para amostras grandes (por exemplo n>30) algumas vezes as pessoas usam o valor z_{0{,}025}=1{,}96 como aproximação, mas o procedimento correto com S é usar t. Aqui a diferença é pequena, mas vamos usar t porque é o método teoricamente correto.

Passo 3

Fórmula do erro da estimativa (apresentação e explicação das variáveis).
A margem de erro E para a média com desvio desconhecido é dada por:
E = t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}.
Explicando cada termo:
  • E é o erro da estimativa (margem de erro).
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil superior da distribuição t com \text{df}=n-1 que captura o nível de confiança.
  • S é o desvio padrão amostral (estimativa de \sigma).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; S/\sqrt{n} é o erro padrão da média (standard error).

Passo 4

Cálculo do erro passo a passo (contas detalhadas para fazer sem calculadora com boa aproximação).
  1. Calcular \sqrt{n}:
\sqrt{35}\approx 5{,}91608.
  1. Calcular o erro padrão da média:
\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{6{,}69}{5{,}91608}\approx 1{,}13036.
(Explicação: dividir 6,69 por 5,916 dá cerca de 1,13; aqui mantive mais casas para precisão.)
  1. Multiplicar pelo t crítico:
E = 2{,}032 \times 1{,}13036 \approx 2{,}297.
  1. Arredondando de forma prática para duas casas decimais (usual em preços):
E \approx 2{,}30.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova.
  • O erro da estimativa (margem de erro) para o preço médio é aproximadamente \$2{,}30. Isso significa que, se construir um intervalo de confiança de 95\% em torno da média amostral \bar{x}, ele será \bar{x}\pm\$2{,}30.
  • Dica rápida para prova: sempre verifique se \sigma é conhecida. Se for desconhecida e n não for absurdamente grande, use t com \text{df}=n-1. Se a tabela de t não tiver exatamente \text{df} desejada, use o valor mais próximo ou, em exames práticos onde pedem aproximação, usar z=1{,}96 dá resultado parecido.

Resposta

\;E \approx \$2{,}30

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