Em um estudo com 1.907 acidentes de trânsito, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
- Número total de acidentes estudados:
. - Número de acidentes relacionados ao uso de álcool:
.
O que o problema pede:
- Construir um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de acidentes relacionados ao álcool (ou seja, para , a proporção populacional).
Passo 2
Calcular a proporção amostral
(isto é a estimativa pontual de
):
Explicando devagar:
é simplesmente a fração dos acidentes na amostra que envolveram álcool — aqui cerca de
, ou
.
Passo 3
Escolha do método e fórmula do intervalo de confiança:
- Como a amostra é grande, podemos usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central para proporções).
- O intervalo de confiança de nível
para uma proporção usa a fórmula
onde:
-
é a proporção amostral, -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que , -
é o erro padrão de , dado por .
Explicando em palavras: a incerteza em torno de
é medida por
; multiplicando
por
obtemos a margem de erro que nos dá a largura do intervalo.
Passo 4
Verificar condições de validade da aproximação normal:
- Precisamos que
e sejam suficientemente grandes (regra prática: ambos ).
Portanto a aproximação normal é adequada.
Passo 5
Calcular o erro padrão
. Primeiro calcule
:
Agora divida por
e tire a raiz:
Interpretação: em média (sob repetidas amostragens) a proporção amostral oscilaria cerca de
em torno da verdadeira proporção.
Passo 6
Determinar o valor crítico
para
de confiança:
- Para
, temos e . - O quantil
tal que para é aproximadamente .
(Observação prática: tabelas ou calculadoras de z dão, arredondamos para .)
Passo 7
Calcular a margem de erro e o intervalo:
Portanto o intervalo de confiança é
Calcule os limites:
Em porcentagem, isso corresponde aproximadamente a
até
.
Interpretação intuitiva (para motivar): com
de confiança, a verdadeira proporção de acidentes relacionados ao álcool na população estudada está entre cerca de
e
. Ou seja, se repetíssemos o estudo muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira proporção.