Em um estudo com 1.907 acidentes de trânsito, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Número total de acidentes estudados: n=1907.
  • Número de acidentes relacionados ao uso de álcool: x=449.
O que o problema pede:
  • Construir um intervalo de confiança de 99\% para a proporção verdadeira de acidentes relacionados ao álcool (ou seja, para p, a proporção populacional).

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p} (isto é a estimativa pontual de p):
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{449}{1907}\approx 0,23545.
Explicando devagar: \hat{p} é simplesmente a fração dos acidentes na amostra que envolveram álcool — aqui cerca de 0,23545, ou 23,545\%.

Passo 3

Escolha do método e fórmula do intervalo de confiança:
  • Como a amostra é grande, podemos usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central para proporções).
  • O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para uma proporção usa a fórmula
\hat{p}\pm z_{\,\alpha/2}\cdot \text{SE}(\hat{p}),
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral,
  • z_{\,\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que P(|Z|>z_{\,\alpha/2})=\alpha,
  • \text{SE}(\hat{p}) é o erro padrão de \hat{p}, dado por \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Explicando em palavras: a incerteza em torno de \hat{p} é medida por \text{SE}; multiplicando \text{SE} por z_{\,\alpha/2} obtemos a margem de erro que nos dá a largura do intervalo.

Passo 4

Verificar condições de validade da aproximação normal:
  • Precisamos que n\hat{p} e n(1-\hat{p}) sejam suficientemente grandes (regra prática: ambos \ge 5).
n\hat{p}=1907\cdot 0,23545\approx 449\quad(\text{positivo e grande}),
n(1-\hat{p})=1907\cdot 0,76455\approx 1458\quad(\text{também grande}).é
Portanto a aproximação normal é adequada.

Passo 5

Calcular o erro padrão \text{SE}(\hat{p}). Primeiro calcule \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})\approx 0,23545\times 0,76455\approx 0,18001.
Agora divida por n e tire a raiz:
\text{SE}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{0,18001}{1907}}\approx \sqrt{0,00009445}\approx 0,00972.
Interpretação: em média (sob repetidas amostragens) a proporção amostral oscilaria cerca de 0,00972 em torno da verdadeira proporção.

Passo 6

Determinar o valor crítico z_{\,\alpha/2} para 99\% de confiança:
  • Para 99\%, temos \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.
  • O quantil z tal que P(Z>z)=0,005 para Z\sim N(0,1) é aproximadamente z_{0,005}\approx 2,576.
    (Observação prática: tabelas ou calculadoras de z dão 2,5758, arredondamos para 2,576.)

Passo 7

Calcular a margem de erro e o intervalo:
\text{ME}=z_{\,\alpha/2}\cdot \text{SE}(\hat{p})\approx 2,576\times 0,00972\approx 0,02504.
Portanto o intervalo de confiança é
\hat{p}\pm \text{ME}\approx 0,23545\pm 0,02504.
Calcule os limites:
\text{limite inferior}\approx 0,23545-0,02504\approx 0,21041,
\text{limite superior}\approx 0,23545+0,02504\approx 0,26049.
Em porcentagem, isso corresponde aproximadamente a 21,04\% até 26,05\%.
Interpretação intuitiva (para motivar): com 99\% de confiança, a verdadeira proporção de acidentes relacionados ao álcool na população estudada está entre cerca de 21{,}0\% e 26{,}0\%. Ou seja, se repetíssemos o estudo muitas vezes, cerca de 99\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira proporção.

Resposta

\left[0,2104;\;0,2605\right]

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