Um SLIT possui resposta em frequência dada por:
H(j omega)=11+2 j omega4+5 j omega+(j omega)^2
Qual a saída y(t) desse sistema se a entrada for
x(t)=e^-t u(t)

Passo 1

O problema dá a resposta em frequência de um sistema LTI causal H(jomega) e pede a saída y(t) quando a entrada é x(t)=e^-tu(t). Vamos usar transformada de Laplace para resolver, já que o sistema é causal e temos uma entrada exponencial com degrau.

Passo 2

Primeiro substituímos jomega por s para trabalhar com transformadas de Laplace. Assim temos a função de transferência
H(s)=11+2ss^2+5s+4e a transformada de Laplace da entrada é
X(s)=Le^-tu(t) = 1s+1

Passo 3

A transformada de Laplace da saída Y(s) é o produto H(s)X(s):
Y(s)=H(s),X(s)=11+2s(s^2+5s+4)(s+1)Note que o denominador fatora como s^2+5s+4=(s+1)(s+4), então
Y(s)=11+2s(s+1)^2(s+4)

Passo 4

Agora fazemos frações parciais:
11+2s(s+1)^2(s+4)=As+1+B(s+1)^2+Cs+4Igualando numeradores:
11+2s = A(s+1)(s+4)+B(s+4)+C(s+1)^2Resolvendo o sistema para A,C,B obtemos
A=-tfrac13, B=3, C=tfrac13

Passo 5

Portanto
Y(s)=-131s+1+31(s+1)^2+131s+4Por fim, aplicando transformada inversa de Laplace em cada termo, temos
[y(t)=\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-t}+3t e{-t}+\tfrac{1}{3}e{-4t}\Bigr)u(t).
]

Resposta

y(t)=\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-t}+3t e{-t}+\tfrac{1}{3}e{-4t}\Bigr)u(t)

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