Use o método das frações parciais para calcular:
integral x^2-x+6x^3+3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que precisa resolver usando o método das frações parciais. A expressão que vamos integrar é:
integral x^2 - x + 6x^3 + 3x , dx
Para resolver isso, vamos precisar saber como fatorar polinômios e aplicar o método das frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 3x. Observando bem, percebemos que podemos tirar um fator comum de x:
x^3 + 3x = x(x^2 + 3)
Então, o denominador fatorado fica x(x^2 + 3).

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar números (ou funções) que, quando somados, dão a fração original. Para denominadores lineares e quadráticos, a decomposição fica assim:
x^2 - x + 6x(x^2 + 3) = Ax + Bx + Cx^2 + 3
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos determinar os valores de [A), e . Primeiramente, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos o lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Da primeira equação:
  3. Já temos
Então, os valores encontrados são , e .

Passo 5

Agora que temos A, B e C, substituímos na decomposição das frações parciais:
x^2 - x + 6x(x^2 + 3) = 2x + -x - 1x^2 + 3
Podemos reescrever a segunda fração para facilitar a integração:
2x - xx^2 + 3 - 1x^2 + 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 2x , dx = 2 ln|x|
  2. integral -xx^2 + 3 , dx: Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2 + 3, então du = 2x , dx. Ajustando, temos -12 ln|x^2 + 3|.
  3. integral -1x^2 + 3 , dx = -1raiz3 tan^-1(xraiz3)

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
2 ln|x| - 12 ln|x^2 + 3| - 1raiz3 tan^-1(xraiz3) + C
Onde C é a constante de integração.

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