Use o método das frações parciais para calcular:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que precisa resolver usando o método das frações parciais. A expressão que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como fatorar polinômios e aplicar o método das frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observando bem, percebemos que podemos tirar um fator comum de :
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar números (ou funções) que, quando somados, dão a fração original. Para denominadores lineares e quadráticos, a decomposição fica assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos determinar os valores de [A), e . Primeiramente, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos o lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Da primeira equação:
  3. Já temos
Então, os valores encontrados são , e .

Passo 5

Agora que temos , e , substituímos na decomposição das frações parciais:
Podemos reescrever a segunda fração para facilitar a integração:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. : Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja , então . Ajustando, temos .

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados