Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que precisa resolver usando o método das frações parciais. A expressão que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como fatorar polinômios e aplicar o método das frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observando bem, percebemos que podemos tirar um fator comum de :
Então, o denominador fatorado fica .
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. A ideia é encontrar números (ou funções) que, quando somados, dão a fração original. Para denominadores lineares e quadráticos, a decomposição fica assim:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos determinar os valores de [A), e . Primeiramente, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos o lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Da primeira equação: →
Já temos
Então, os valores encontrados são , e .
Passo 5
Agora que temos , e , substituímos na decomposição das frações parciais:
Podemos reescrever a segunda fração para facilitar a integração:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
: Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja , então . Ajustando, temos .