Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e
(a maior);
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e
. Esse problema envolve geometria de regiões planas e integração definida. Para resolver, vamos precisar encontrar as interseções entre as curvas, entender qual é a função superior e inferior em cada trecho e montar integrais apropriadas, preferencialmente em relação a x.
Passo 2
Calcular os pontos de interseção entre: (a) a parábola
e a reta
, (b) a parábola
e a reta
, e © entre as duas retas. Resolvendo
obtemos
e
; e
dá
e
. A interseção das retas vem de
, resultando em
. A região que nos interessa é fechada pelos pontos
,
e
.
Passo 3
Para escolher a variável de integração, analisamos qual das duas dá limites mais simples. Observando o esboço, para cada
entre
e
, o limite superior é a reta
e o inferior é
. Para
entre
e
, o limite superior é
e o inferior continua
. Assim, integrar em
exige só duas integrais com limites constantes, mais simples do que em
.
Passo 4
Montamos as integrais:
Aqui aplicamos a definição de área pela diferença entre função superior e inferior.
Passo 5
Calculamos cada integral. A primeira dá
e a segunda
Passo 6
Somando, obtemos
.
Resposta
A área da região é
e é preferível integrar em relação a x.