Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=x^2, 3 y=2 x+16 e y=-2 x+8 (a maior);

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^2, 3y=2x+16 e y=-2x+8. Esse problema envolve geometria de regiões planas e integração definida. Para resolver, vamos precisar encontrar as interseções entre as curvas, entender qual é a função superior e inferior em cada trecho e montar integrais apropriadas, preferencialmente em relação a x.

Passo 2

Calcular os pontos de interseção entre: (a) a parábola y=x^2 e a reta 3y=2x+16, (b) a parábola y=x^2 e a reta y=-2x+8, e © entre as duas retas. Resolvendo x^2=tfrac23x+tfrac163 obtemos x=-2 e x=tfrac83; e x^2=-2x+8 x=-4 e x=2. A interseção das retas vem de tfrac23x+tfrac163=-2x+8, resultando em x=1. A região que nos interessa é fechada pelos pontos (-2,4), (1,6) e (2,4).

Passo 3

Para escolher a variável de integração, analisamos qual das duas dá limites mais simples. Observando o esboço, para cada x entre -2 e 1, o limite superior é a reta 3y=2x+16 e o inferior é y=x^2. Para x entre 1 e 2, o limite superior é y=-2x+8 e o inferior continua y=x^2. Assim, integrar em x exige só duas integrais com limites constantes, mais simples do que em y.

Passo 4

Montamos as integrais:
Aqui aplicamos a definição de área pela diferença entre função superior e inferior.

Passo 5

Calculamos cada integral. A primeira dá
e a segunda

Passo 6

Somando, obtemos 12+tfrac83=tfrac443.

Resposta

A área da região é tfrac443 e é preferível integrar em relação a x.

Exercícios relacionados