Resolva as integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que ajuda a simplificar a integral em termos mais fáceis de calcular.
Passo 2
Primeiro, observe que o denominador
pode ser fatorado. Vamos fatorar:
Agora, reescrevemos a fração original usando esses fatores:
Passo 3
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que existe uma forma:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 5
Escolhemos valores estratégicos para
que simplificam a equação:
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Isso simplifica a integral original para:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Resposta
A integral é:
Onde
é a constante de integração.