Resolva as integrais
integral 5 x-1x^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5x - 1x^2 - 9 , dx. Esse tipo de problema faz parte do estudo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que ajuda a simplificar a integral em termos mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador x^2 - 9 pode ser fatorado. Vamos fatorar:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Agora, reescrevemos a fração original usando esses fatores:
5x - 1x^2 - 9 = 5x - 1(x - 3)(x + 3)

Passo 3

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que existe uma forma:
5x - 1(x - 3)(x + 3) = Ax - 3 + Bx + 3
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 3)(x + 3) para eliminar os denominadores:
5x - 1 = A(x + 3) + B(x - 3)
Agora, vamos resolver para A e B.

Passo 5

Escolhemos valores estratégicos para x que simplificam a equação:
  1. Quando x = 3:
    5(3) - 1 = A(3 + 3) + B(3 - 3) Rightarrow 15 - 1 = 6A + 0 Rightarrow 14 = 6A Rightarrow A = 146 = 73
  2. Quando x = -3:
    5(-3) - 1 = A(-3 + 3) + B(-3 - 3) Rightarrow -15 - 1 = 0 + (-6)B Rightarrow -16 = -6B Rightarrow B = 166 = 83

Passo 6

Agora que temos os valores de A e B, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
5x - 1x^2 - 9 = 7/3x - 3 + 8/3x + 3
Isso simplifica a integral original para:
integral 5x - 1x^2 - 9 , dx = 73 integral 1x - 3 , dx + 83 integral 1x + 3 , dx

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
73 integral 1x - 3 , dx = 73 ln|x - 3|
83 integral 1x + 3 , dx = 83 ln|x + 3|

Resposta

A integral é:
integral 5x - 1x^2 - 9 , dx = 73 ln|x - 3| + 83 ln|x + 3| + C
Onde C é a constante de integração.

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