Resolva as integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de problema faz parte do estudo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que ajuda a simplificar a integral em termos mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador pode ser fatorado. Vamos fatorar:
Agora, reescrevemos a fração original usando esses fatores:

Passo 3

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que existe uma forma:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 5

Escolhemos valores estratégicos para que simplificam a equação:
  1. Quando :
  2. Quando :

Passo 6

Agora que temos os valores de e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Isso simplifica a integral original para:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:

Resposta

A integral é:
Onde é a constante de integração.

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