Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=raizx e y=x / 3,0 <= x <= 16

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa determinar e desenhar a área que fica entre as curvas y = raizx e y = x3 , para valores de x entre 0 e 16. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas delimitadas por curvas. Vamos usar integrais para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso nos ajudará a saber os limites de integração.
Temos:
raizx = x3
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x = ( x3 )^2 x = x^29
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar a fração:
9x = x^2 x^2 - 9x = 0 x(x - 9) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 9 .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em x = 0 e x = 9 , vamos decidir se é melhor integrar em relação a x ou a y .
Vamos observar as funções:
  • y = raizx é mais fácil de expressar em termos de y .
  • y = x3 também pode ser rearranjada para x = 3y .
Ambas as formas são viáveis, mas integrar em relação a x geralmente é mais direto neste caso, já que ambas as funções estão facilmente expressas em y como função de x .

Passo 4

Vamos configurar a integral para encontrar a área entre as duas curvas de x = 0 a x = 16 .
Observamos que as curvas se cruzam em x = 0 e x = 9 . Então, precisamos dividir a integral em duas partes:
  1. De x = 0 a x = 9 , onde y = raizx está acima de y = x3 .
  2. De x = 9 a x = 16 , onde y = x3 está acima de y = raizx .
A fórmula para a área entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) é:
Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx Á
Então, temos:
Área Total = integral0^9 ( raizx - x3 ) , dx + integral9^16 ( x3 - raizx ) , dx Á

Passo 5

Vamos calcular as duas integrais separadamente.
Primeira Integral (de 0 a 9):
integral0^9 ( raizx - x3 ) , dx
Integramos cada termo:
integral raizx , dx = 23 x^3/2 integral x3 , dx = 13 cdot x^22 = x^26
Aplicando os limites:
[ 23 x^3/2 - x^26 ]0^9 = ( 23 cdot 27 - 816 ) - 0 = (18 - 13,5) = 4,5
Segunda Integral (de 9 a 16):
integral9^16 ( x3 - raizx ) , dx
Integramos cada termo:
integral x3 , dx = 13 cdot x^22 = x^26 integral raizx , dx = 23 x^3/2
Aplicando os limites:
[ x^26 - 23 x^3/2 ]9^16
Calculando para x = 16 :
16^26 - 23 cdot 16^3/2 = 2566 - 23 cdot 64 = 2566 - 1283 = 2566 - 2566 = 0
Calculando para x = 9 :
816 - 23 cdot 27 = 13,5 - 18 = -4,5
Então:
0 - (-4,5) = 4,5
Totalizando as duas áreas:
4,5 + 4,5 = 9

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é igual a 9 unidades quadradas.

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