Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa determinar e desenhar a área que fica entre as curvas
e
, para valores de
entre 0 e 16. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas delimitadas por curvas. Vamos usar integrais para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso nos ajudará a saber os limites de integração.
Temos:
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar a fração:
Então, as soluções são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se encontram em
e
, vamos decidir se é melhor integrar em relação a
ou a
.
Vamos observar as funções:
-
é mais fácil de expressar em termos de . -
também pode ser rearranjada para .
Ambas as formas são viáveis, mas integrar em relação a
geralmente é mais direto neste caso, já que ambas as funções estão facilmente expressas em
como função de
.
Passo 4
Vamos configurar a integral para encontrar a área entre as duas curvas de
a
.
Observamos que as curvas se cruzam em
e
. Então, precisamos dividir a integral em duas partes:
- De
a , onde está acima de . - De
a , onde está acima de .
A fórmula para a área entre duas curvas
e
é:
Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular as duas integrais separadamente.
Primeira Integral (de 0 a 9):
Integramos cada termo:
Aplicando os limites:
Segunda Integral (de 9 a 16):
Integramos cada termo:
Aplicando os limites:
Calculando para
:
Calculando para
:
Então:
Totalizando as duas áreas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é igual a
unidades quadradas.