Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa determinar e desenhar a área que fica entre as curvas e , para valores de entre 0 e 16. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas delimitadas por curvas. Vamos usar integrais para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Isso nos ajudará a saber os limites de integração.
Temos:
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar a fração:
Então, as soluções são e .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em e , vamos decidir se é melhor integrar em relação a ou a .
Vamos observar as funções:
  • é mais fácil de expressar em termos de .
  • também pode ser rearranjada para .
Ambas as formas são viáveis, mas integrar em relação a geralmente é mais direto neste caso, já que ambas as funções estão facilmente expressas em como função de .

Passo 4

Vamos configurar a integral para encontrar a área entre as duas curvas de a .
Observamos que as curvas se cruzam em e . Então, precisamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , onde está acima de .
  2. De a , onde está acima de .
A fórmula para a área entre duas curvas e é:
Á
Então, temos:
Á

Passo 5

Vamos calcular as duas integrais separadamente.
Primeira Integral (de 0 a 9):
Integramos cada termo:
Aplicando os limites:
Segunda Integral (de 9 a 16):
Integramos cada termo:
Aplicando os limites:
Calculando para :
Calculando para :
Então:
Totalizando as duas áreas:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é igual a unidades quadradas.

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