Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=x^4 e y=2-|x|

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^4
e
y = 2 - |x|
Além disso, devemos decidir se é melhor integrar em x ou em y. O conteúdo envolvido é determinação de área entre curvas por integração.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção fazemos
x^4 = 2 - |x|
seja t = |x|>=0, fica
t^4 + t - 2 = 0
Fatorando t^4 + t - 2 = (t-1)(t^3+t^2+t+2), vemos que a única raiz real não negativa é t=1. Logo x=pm1 e nesses pontos
y = (pm1)^4 = 1

Passo 3

O esboço é o seguinte: para xin[-1,1] a curva y=2-|x| é acima de y=x^4, e fora desse intervalo a reta cruza abaixo do quartic. A região é simétrica em relação ao eixo y.
Para cada xin[-1,1] temos x^4 <= y <= 2 - |x|. Isso sugere integrar em x, pois bastará um único intervalo e a operação de simetria.

Passo 4

A área A é
A = integralx=-1^1 l[(2 - |x|) - x^4r],dx
Pela simetria em x,
A = 2 integral0^1 l[(2 - x) - x^4r],dx

Passo 5

Calculando
integral0^1 (2 - x - x^4),dx = l[2x - tfracx^22 - tfracx^55r]0^1 = 2 - tfrac12 - tfrac15 = tfrac1310
Multiplicando por 2,
A = 2 cdot tfrac1310 = tfrac135

Resposta

A área da região é tfrac135, e é preferível integrar em x.

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