Use integração por partes para calcular as integrais:
integral x^3 e^-3 x2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 e^-3 x2 , dx usando integração por partes. Esse método é super útil quando temos o produto de duas funções, como aqui com x^3 e e^-3x2. Para isso, vamos precisar escolher quais partes da função serão u e dv na fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossas escolhas para u e dv:
  • Escolha de u: Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar. Aqui, u = x^3.
  • Escolha de dv: O restante ficará como dv, então dv = e^-3x2 , dx.
Agora, vamos calcular du e v:
du = 3x^2 , dx
v = integral e^-3x2 , dx = -23 e^-3x2

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 e^-3x2 , dx = uv - integral v , du
= x^3 (-23 e^-3x2) - integral (-23 e^-3x2) (3x^2) , dx
= -23 x^3 e^-3x2 + 2 integral x^2 e^-3x2 , dx
Agora, temos uma nova integral integral x^2 e^-3x2 , dx que também vamos resolver por partes.

Passo 4

Repetimos o processo de integração por partes para integral x^2 e^-3x2 , dx:
  • Escolha de u: u = x^2
  • Escolha de dv: dv = e^-3x2 , dx
Calculando du e v:
du = 2x , dx
v = -23 e^-3x2
Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^-3x2 , dx = x^2 (-23 e^-3x2) - integral (-23 e^-3x2) (2x) , dx
= -23 x^2 e^-3x2 + 43 integral x e^-3x2 , dx
Agora, precisamos resolver integral x e^-3x2 , dx por partes novamente.

Resposta

Após aplicar a integração por partes várias vezes, a integral fica:
integral x^3 e^-3x2 , dx = ( -23x^3 - 43x^2 - 169x - 3227 ) e^-3x2 + C
Onde C é a constante de integração.

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