Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Esboce a região e o sólido.
; em torno do eixo x ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva
é uma função exponencial que cresce conforme
aumenta. A linha
é simplesmente o eixo
. As linhas verticais
e
limitam a região que vamos girar.
Passo 3
Agora, vamos visualizar essa região. Entre
e
, a curva
está acima do eixo
. Quando giramos essa região em torno do eixo
, vamos formar um sólido com formato semelhante a uma taça ou a um vaso, dependendo da precisão.
Passo 4
Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos discos. A ideia é imaginar o sólido como uma série de discos finos empilhados ao longo do eixo
. A área de cada disco é
, onde
é o raio do disco, que no nosso caso é a função
.
Passo 5
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 7
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo do volume.
Passo 8
Vamos então calcular o valor definido da integral de
a
:
Passo 9
Agora, multiplicamos o resultado da integral por
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.