Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Esboce a região e o sólido.
; em torno do eixo x ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva é uma função exponencial que cresce conforme aumenta. A linha é simplesmente o eixo . As linhas verticais e limitam a região que vamos girar.

Passo 3

Agora, vamos visualizar essa região. Entre e , a curva está acima do eixo . Quando giramos essa região em torno do eixo , vamos formar um sólido com formato semelhante a uma taça ou a um vaso, dependendo da precisão.

Passo 4

Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos discos. A ideia é imaginar o sólido como uma série de discos finos empilhados ao longo do eixo . A área de cada disco é , onde é o raio do disco, que no nosso caso é a função .

Passo 5

A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, , e .

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 7

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo do volume.

Passo 8

Vamos então calcular o valor definido da integral de a :

Passo 9

Agora, multiplicamos o resultado da integral por para obter o volume:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados