Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Esboce a região e o sólido.
y=e^x, y=0, x=-1, x=1; em torno do eixo x ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas y = e^x , y = 0 , x = -1 e x = 1 é girada em torno do eixo x . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva y = e^x é uma função exponencial que cresce conforme x aumenta. A linha y = 0 é simplesmente o eixo x . As linhas verticais x = -1 e x = 1 limitam a região que vamos girar.

Passo 3

Agora, vamos visualizar essa região. Entre x = -1 e x = 1 , a curva y = e^x está acima do eixo x . Quando giramos essa região em torno do eixo x , vamos formar um sólido com formato semelhante a uma taça ou a um vaso, dependendo da precisão.

Passo 4

Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos discos. A ideia é imaginar o sólido como uma série de discos finos empilhados ao longo do eixo x . A área de cada disco é pi R^2 , onde R é o raio do disco, que no nosso caso é a função y = e^x .

Passo 5

A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) = e^x , a = -1 e b = 1 .

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
V = pi integral-1^1 (e^x)^2 , dx = pi integral-1^1 e^2x , dx
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 7

A integral de e^2x em relação a x é:
integral e^2x , dx = 12 e^2x + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo do volume.

Passo 8

Vamos então calcular o valor definido da integral de x = -1 a x = 1 :
[ 12 e^2x ]-1^1 = 12 e^2(1) - 12 e^2(-1) = 12 e^2 - 12 e^-2

Passo 9

Agora, multiplicamos o resultado da integral por pi para obter o volume:
V = pi ( 12 e^2 - 12 e^-2 ) = pi2 ( e^2 - e^-2 )

Resposta

O volume do sólido é pi2 ( e^2 - e^-2 ) unidades cúbicas.

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