A função y=8 x-27 x^3 se assemelha a uma parábola que passa pela origem tem uma raiz positiva, quando vista no primeiro quadrante. Considere uma reta horizontal y=c cortando-a. Determine o valor de c que faz com que as áreas das regiões delimitadas por elas e pelo eixo x sejam iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ y = 8x - 27x^{3} $, que parece uma parábola passando pela origem e com uma raiz positiva no primeiro quadrante. A missão é encontrar o valor de $ c $ para a reta horizontal $ y = c $ que corta essa função de forma que as áreas das regiões delimitadas por ela, pela função e pelo eixo $ x $ sejam iguais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a reta $ y = c $ corta a função $ y = 8x - 27x^{3} $. Para achar esses pontos de interseção, igualamos as duas funções:
y = c
Isso nos dá a equação:
y = 8x - 27x^3
Precisamos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem essa equação para um determinado $ c $, mas vamos precisar de uma abordagem diferente para achar $ c $.

Passo 3

O próximo passo é determinar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas e pelo eixo $ x $. Vamos chamar de $ A_1 $ a área entre $ x = 0 $ e o ponto onde $ y = c $ e $ y = 8x - 27x^{3} $ se encontram. E $ A_2 $ será a área acima de $ y = c $ até o eixo $ x $ nesse intervalo.
Queremos que $ A_1 = A_2 $.

Passo 4

Para encontrar essas áreas, vamos utilizar a integral definida. A área entre duas curvas $ f(x) $ e $ g(x) $ de $ a $ a $ b $ é dada por:
f(x) Á
No nosso caso, $ f(x) = 8x - 27x^{3} $ e $ g(x) = c $. Como queremos as áreas iguais acima e abaixo de $ y = c $, vamos configurar a integral de forma que a área acima seja igual à área abaixo.

Passo 5

Vamos chamar o ponto de interseção de $ x = a $. Então, temos:
x = a
As áreas serão:
8a - 27a^3 = c
A1 = integral0^a (8x - 27x^3 - c) , dx
Queremos que $ A_1 = A_2 $.

Passo 6

Calculando as integrais:
Para $ A_1 $:
A1
Para $ A_2 $:
A1 = integral0^a (8x - 27x^3 - c) , dx = [4x^2 - 274x^4 - c x ]0^a = 4a^2 - 274a^4 - c a
Igualando $ A_1 $ e $ A_2 $:
A2

Passo 7

Simplificando a equação:
4a^2 - 274a^4 - c a - c a + 4a^2 - 274a^4 = 0
8a^2 - 272a^4 - 2c a = 0
Mas sabemos que $ 8a - 27a^{3} = c $, então podemos substituir $ c $:
8a - 27a^3 = c
c
8a^2 - 272a^4 - 2(8a - 27a^3)a = 0
8a^2 - 272a^4 - 16a^2 + 54a^4 = 0
(54a^4 - 272a^4) + (8a^2 - 16a^2) = 0
Ignorando a solução trivial $ a = 0 $, temos:
812a^4 - 8a^2 = 0

Resposta

O valor de $ c $ que faz com que as áreas das regiões delimitadas sejam iguais é $ c = \frac{32}{9} $.

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