A função
se assemelha a uma parábola que passa pela origem tem uma raiz positiva, quando vista no primeiro quadrante. Considere uma reta horizontal
cortando-a. Determine o valor de
que faz com que as áreas das regiões delimitadas por elas e pelo eixo x sejam iguais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ y = 8x - 27x^{3} $, que parece uma parábola passando pela origem e com uma raiz positiva no primeiro quadrante. A missão é encontrar o valor de $ c $ para a reta horizontal $ y = c $ que corta essa função de forma que as áreas das regiões delimitadas por ela, pela função e pelo eixo $ x $ sejam iguais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a reta $ y = c $ corta a função $ y = 8x - 27x^{3} $. Para achar esses pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Isso nos dá a equação:
Precisamos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem essa equação para um determinado $ c $, mas vamos precisar de uma abordagem diferente para achar $ c $.
Passo 3
O próximo passo é determinar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas e pelo eixo $ x $. Vamos chamar de $ A_1 $ a área entre $ x = 0 $ e o ponto onde $ y = c $ e $ y = 8x - 27x^{3} $ se encontram. E $ A_2 $ será a área acima de $ y = c $ até o eixo $ x $ nesse intervalo.
Queremos que $ A_1 = A_2 $.
Passo 4
Para encontrar essas áreas, vamos utilizar a integral definida. A área entre duas curvas $ f(x) $ e $ g(x) $ de $ a $ a $ b $ é dada por:
No nosso caso, $ f(x) = 8x - 27x^{3} $ e $ g(x) = c $. Como queremos as áreas iguais acima e abaixo de $ y = c $, vamos configurar a integral de forma que a área acima seja igual à área abaixo.
Passo 5
Vamos chamar o ponto de interseção de $ x = a $. Então, temos:
As áreas serão:
Queremos que $ A_1 = A_2 $.
Passo 6
Calculando as integrais:
Para $ A_1 $:
Para $ A_2 $:
Igualando $ A_1 $ e $ A_2 $:
Passo 7
Simplificando a equação:
Mas sabemos que $ 8a - 27a^{3} = c $, então podemos substituir $ c $:
Ignorando a solução trivial $ a = 0 $, temos:
Resposta
O valor de $ c $ que faz com que as áreas das regiões delimitadas sejam iguais é $ c = \frac{32}{9} $.