Use o método das camadas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
y=raiz5+x^2, y=0, x=0, x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por
y=raiz5+x^2, y=0, x=0, x=2
O método a usar é o das cascas cilíndricas, em que tomamos um retângulo vertical em x e giramos ao redor de y.

Passo 2

No método das cascas, cada “gomo” a distância x do eixo gera um cilindro de raio x, altura igual à função menos a base (aqui y-0) e espessura dx. A fórmula do volume é
V = 2pi integrala^b (raio)(a<ura),dx = 2pi integral0^2 xl(raiz5+x^2-0r),dx = 2pi integral0^2 xraiz5+x^2,dx

Passo 3

Para calcular
integral0^2 xraiz5+x^2,dx,
faço a substituição
u = 5 + x^2, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x=0, u=5; quando x=2, u=9. Logo,
integral0^2 xraiz5+x^2,dx = 12 integral5^9 u^tfrac12,du

Passo 4

Integro em u:
12 integral u^tfrac12,du = 12cdot 23u^tfrac32 = 13u^tfrac32
Avalio de 5 a 9:
13l(9^tfrac32-5^tfrac32r) = 13l(27-5raiz5r)
Multiplicando por 2pi, o volume fica
V = 2pi times 13l(27-5raiz5r) = 2pi3,l(27-5raiz5r)

Resposta

V = 2pi3,l(27 - 5raiz5r)

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