Determine e esboce a convolução de
x[n]=u[n+1]-u[n-2]
com a resposta ao impulso do sistema definida por
h[n]=u[n]-u[n-2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução discreta de duas sequências finitas
x[n]=u[n+1]-u[n-2]
e
h[n]=u[n]-u[n-2]
O conteúdo aqui é o conceito de convolução discreta
y[n]=sumk=-infty^inftyx[k],h[n-k],
e vamos precisar identificar o suporte (onde cada sequência é não nula) e aplicar essa soma apenas nesses índices.

Passo 2

Vamos achar o suporte de cada sequência usando propriedades do degrau unitário.
u[n+1]=1 para n>= -1, u[n-2]=1 para n>=2,
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x[n]=u[n+1]-u[n-2]= 1,&-1<= n<=1, 0,&caso contrário á
De modo semelhante,
u[n]=1 para n>=0, u[n-2]=1 para n>=2,
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h[n]=u[n]-u[n-2]= 1,&0<= n<=1, 0,&caso contrário á

Passo 3

Pela definição de convolução, só precisamos calcular para n entre o menor índice de x somado ao menor de h (isto é -1+0=-1) e o maior de x mais o maior de h (isto é 1+1=2). Para cada nin-1,0,1,2 fazemos
y[n]=sumk=-infty^inftyx[k],h[n-k]
mas x[k]neq0 só se k=-1,0,1 e h[n-k]neq0 só se n-kin0,1.
Para n=-1:
y[-1]=x[-1],h[0]=1cdot1=1
Para n=0:
y[0]=x[-1],h[1]+x[0],h[0]=1cdot1+1cdot1=2
Para n=1:
y[1]=x[0],h[1]+x[1],h[0]=1cdot1+1cdot1=2
Para n=2:
y[2]=x[1],h[1]=1cdot1=1

Passo 4

O esboço de y[n] é uma sequência discreta que vale
1,2,2,1 nos pontos n=-1,0,1,2, respectivamente, e zero fora desse intervalo. No gráfico marcamos quatro pontos em n=-1,0,1,2 com alturas 1,2,2,1.

Resposta

y[n]= 1,&n=-1, 2,&n=0, 2,&n=1, 1,&n=2, 0,&caso contrário á

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