Determine e esboce o dominio de cada função real de duas variáveis:
f(x, y)=raizy^2-x^2-3

Passo 1

Nós temos a função
f(x,y)=raizy^2-x^2-3
e queremos encontrar o domínio real dela, ou seja, todos os pares (x,y) tais que a expressão dentro da raiz seja não negativa. Vamos usar inequações de segundo grau em duas variáveis e reconhecer a curva de nível associada.

Passo 2

Para que a raiz quadrada seja real, é necessário
y^2-x^2-3 ;>=;0

Passo 3

Reescrevendo a condição, obtemos
y^2-x^2;>=;3

Passo 4

Isolando y, temos
y^2;>=;x^2+3 Longrightarrow |y|;>=;raizx^2+3

Passo 5

Isso divide o domínio em duas regiões desconexas:
  1. y>=raizx^2+3
  2. y<= -raizx^2+3.

Passo 6

O contorno y^2-x^2=3 é uma hipérbole com ramos alinhados ao eixo y, cujos vértices são (0,pmraiz3). O domínio consiste na região acima do ramo superior e abaixo do ramo inferior dessa hipérbole.

Resposta

Dom(f) =l(x,y)inR^2mid y^2-x^2>=3r =(x,y)mid y>=raizx^2+3,cup,(x,y)mid y<= -raizx^2+3

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