Determine e esboce o dominio de cada função real de duas variáveis:
f(x, y)=ln (x^2-y^2+1)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f(x,y)=lnl(x^2-y^2+1r). Para funções do tipo ln(u) precisamos que o argumento u seja estritamente positivo. Aqui o conteúdo é determinação de domínio em R^2 via inequação.

Passo 2

Impondo a condição de existência do logaritmo:
x^2-y^2+1>0
Essa inequação define o conjunto de pontos (x,y) onde a função está bem definida.

Passo 3

Reescrevendo a inequação para evidenciar a região em torno de uma hipérbole, temos
x^2-y^2>-1 Long<=ftrightarrow x^2+1>y^2 Long<=ftrightarrow y^2<x^2+1

Passo 4

Da condição y^2<x^2+1 tiramos
-raizx^2+1<y<raizx^2+1
Isso mostra que o domínio é a região aberta entre as curvas y=pmraizx^2+1.

Passo 5

Para esboçar, desenhe as duas ramificações da hipérbole y^2-x^2=1, isto é, y=pmraizx^2+1. O domínio é o “interior” dessa forma de ampulheta, incluindo o eixo x, mas sem tocar as curvas.

Resposta

O domínio de f é
D = l(x,y)inR^2mid -raizx^2+1<y<raizx^2+1r

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