Determine e esboce o dominio de cada função real de duas variáveis:
f(x, y)=x^2+y^2y^2-x-1

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=x^2+y^2y^2-x-1
ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y)inR^2 para os quais a expressão está bem definida. Como há divisão, precisamos garantir que o denominador não seja zero.

Passo 2

Impondo a restrição
y^2-x-1neq 0
podemos reescrever essa condição como
x neq y^2-1
Logo o domínio é dado por todos os (x,y) que não satisfazem a igualdade x=y^2-1.

Passo 3

Geometricamente, a equação
x = y^2-1
é uma parábola com vértice em (-1,0) e que se abre para a direita. Todos os pontos dessa curva devem ser excluídos do domínio.

Passo 4

Para esboçar o domínio:
— Desenhe o plano xy e trace a parábola x=y^2-1 (por exemplo, com linha pontilhada para indicar que não pertence ao domínio).
— O domínio de f é toda a região à esquerda e à direita dessa parábola, ou seja, o plano inteiro com a curva retirada.

Resposta

O domínio de f é
D = l(x,y)inR^2mid y^2-x-1neq 0r = R^2setminusl(x,y)mid x=y^2-1r

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