Questão 2 (2 pontos)
Calcule o limite, se existir.
lim x 1 3 x^3-5 x^2+7 x-5x^3-1

Passo 1

O enunciado pede limxto13x^3-5x^2+7x-5x^3-1. O conteúdo aqui é tratamento de indeterminação do tipo tfrac00 usando fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em numerador e denominador:
3cdot1^3-5cdot1^2+7cdot1-5 = 3-5+7-5 = 0, 1^3-1 = 0,
logo temos a forma indeterminada 00.

Passo 3

Fatoramos o denominador pela diferença de cubos:
x^3 - 1 = (x-1),(x^2 + x + 1)

Passo 4

Para fatorar o numerador pelo mesmo fator x-1, fazemos divisão sintética de 3x^3 -5x^2 +7x -5 por x-1:
Coeficientes: 3,,-5,,7,,-5.
Ponto de divisão: x=1.
  • Baixamos 3.
  • Multiplicamos 3cdot1=3, somamos a -5 dando -2.
  • Multiplicamos -2cdot1=-2, somamos a 7 dando 5.
  • Multiplicamos 5cdot1=5, somamos a -5 dando 0.
O resto é zero e o quociente é 3x^2 -2x +5. Assim
3x^3 -5x^2 +7x -5 = (x-1),(3x^2 -2x +5)

Passo 5

Cancelamos o fator comum x-1 e calculamos o limite da expressão simplificada:
limxto13x^3-5x^2+7x-5x^3-1 = limxto1(x-1)(3x^2-2x+5)(x-1)(x^2+x+1) = limxto13x^2-2x+5x^2+x+1
Fazendo x=1:
3cdot1^2-2cdot1+51^2+1+1 = 3-2+53 = 63 =2

Resposta

2

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