Determine e esboce o domínio da função
\begin{aligned} & f(x, y)=\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1} \\\ & f(x, y)=\sqrt[4]{x-3 y} \\\ & q(x, y)=\sqrt{x}+\sqrt{4-4 x^{2}-y^{2}} \\\ & g(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-9\right) \\\ & g(x, y)=\frac{x-y}{x+y} \\\ & g(x, y)=\frac{\ln (2-x)}{1-x^{2}-y^{2}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre e faça o esboço do domínio de seis funções de duas variáveis. Para isso vamos usar as condições de existência de raiz de índice par (radicando >=0), de logaritmo (argumento > 0) e de fração (denominador \neq 0). A cada função, determinamos as restrições em x e y e descrevemos geometricamente a região resultante.

Passo 2

Para
f(x,y)=\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}
exigimos
x-2\ge 0 \quad\text{e}\quad y-1\ge 0,
ou seja
x\ge 2,\quad y\ge 1.
O domínio é o retângulo semi-infinito
D_1=\{(x,y)\mid x\ge2,\;y\ge1\},
um “quadrante” paralelo aos eixos com vértice em (2,1).

Passo 3

Para
f(x,y)=\sqrt[4]{\,x-3y\,}
como a raiz é de índice par, precisamos de
x-3y\ge 0,
isto é,
x\ge 3y.
O domínio é o semiplano
D_2=\{(x,y)\mid x\ge3y\},
vindo da região acima (ou na) da reta x=3y.

Passo 4

Para
q(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{4-4x^{2}-y^{2}}
temos duas condições:
x\ge0 \quad\text{e}\quad 4-4x^2-y^2\ge0.
A segunda inequação pode ser escrita como
4x^2+y^2\le4 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}\le1,
que é uma elipse de semi-eixos 1 e 2. Interceptando com x\ge0, o domínio é
D_3=\{(x,y)\mid x\ge0,\;4x^2+y^2\le4\},
isto é, a metade direita (incluindo fronteiras) da elipse.

Passo 5

Para
g(x,y)=\ln\bigl(x^2+y^2-9\bigr)
o argumento do log deve ser positivo:
x^2+y^2-9>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2>9.
O domínio é
D_4=\{(x,y)\mid x^2+y^2>9\},
ou seja, o exterior do círculo de raio 3, sem a própria circunferência.

Passo 6

Para
g(x,y)=\frac{x-y}{x+y}
só há restrição de denominador não nulo:
x+y\neq0.
O domínio é o plano todo menos a reta
D_5=\{(x,y)\mid x+y\neq0\},
isto é, \mathbb R^2 excluindo a linha y=-x.

Passo 7

Para
g(x,y)=\frac{\ln(2-x)}{1-x^{2}-y^{2}}
temos duas condições simultâneas:
2-x>0 \quad\Longrightarrow\quad x<2,
e
1-x^2-y^2\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2\neq1.
Assim o domínio é
D_6=\{(x,y)\mid x<2,\;x^2+y^2\neq1\},
ou seja, o semiplano à esquerda de x=2 com a circunferência unitária removida.

Resposta

D_1=\{(x,y)\mid x\ge2,\;y\ge1\} D_2=\{(x,y)\mid x\ge3y\} D_3=\{(x,y)\mid x\ge0,\;4x^2+y^2\le4\} D_4=\{(x,y)\mid x^2+y^2>9\} D_5=\{(x,y)\mid x+y\neq0\} D_6=\{(x,y)\mid x<2,\;x^2+y^2\neq1\}

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