Determine e esboce o domínio da função, determine a imagem da função e esboce o gráfico da função.
f(x, y)=6-3 x-2 y

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=6-3x-2y.
Pede três coisas:
  • Determinar e esboçar o domínio da função.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de saída) da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
As informações que temos são apenas a expressão algébrica 6-3x-2y. Não há nenhuma restrição explícita (como raiz de índice par, divisão por zero, logaritmo etc.) no enunciado.

Passo 2

O que é domínio e como encontrei aqui (passo didático):
  • Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define a função faz sentido.
  • Se a expressão envolver divisão, raiz par, logaritmo, etc., isso pode restringir o domínio. Mas se for um polinômio (somente somas e produtos de x e y e constantes) não há restrição: todo par real é válido.
    A função dada é linear (polinomial de grau 1) em x e y, então não tem restrição. Logo o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

O que é imagem (ou conjunto-valor) e como achar aqui:
  • A imagem é o conjunto de todos os números reais z que aparecem como z=f(x,y) para algum (x,y) do domínio.
  • Uma maneira prática: escrevemos z=f(x,y) e, dado um valor qualquer z_0\in\mathbb{R}, tentamos encontrar (x,y) tais que
z_0=6-3x-2y.
Isso é uma equação linear em x,y. Por exemplo, escolhendo arbitrariamente x=0 obtemos
z_0=6-2y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{6-z_0}{2},
que sempre tem solução real para qualquer z_0. Portanto, para qualquer z_0\in\mathbb{R} existe (x,y)\in\mathbb{R}^2 com f(x,y)=z_0. Isso mostra que a imagem é todo \mathbb{R}.
Exemplo concreto para fixar a ideia: para z_0=0 escolha x=0 e y=3 porque 6-3\cdot0-2\cdot3=0. Para z_0=10 escolha x=0 e y=-2 pois 6-3\cdot0-2(-2)=10.

Passo 4

Descrição do gráfico (o que desenhar) e propriedades importantes para esboçar:
  • O gráfico de f é o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 satisfazendo
z=6-3x-2y.
  • Essa equação é a equação de um plano no espaço tridimensional. Para escrever na forma com coeficientes do plano, reorganiza-se:
3x+2y+z=6.
A normal a esse plano é o vetor (3,2,1) (ou seja, um vetor perpendicular ao plano).
  • Interseções com os eixos (pontos fáceis para desenhar):
    • Interseção com o eixo z (quando x=0,y=0): z=6. Ponto (0,0,6).
    • Interseção com o eixo x (quando y=0,z=0): 0=6-3x\Rightarrow x=2. Ponto (2,0,0).
    • Interseção com o eixo y (quando x=0,z=0): 0=6-2y\Rightarrow y=3. Ponto (0,3,0).
  • Inclinações: ao aumentar x em 1 (mantendo y fixo), z diminui em 3. Ao aumentar y em 1 (com x fixo), z diminui em 2. Isso ajuda a posicionar a face inclinada do plano.
  • Curvas de nível (ajudam no esboço em planta): para cada constante c a curva de nível é
6-3x-2y=c \quad\Leftrightarrow\quad y=-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{6-c}{2},
ou seja, retas paralelas de coeficiente angular -\tfrac{3}{2}. No plano xy elas são linhas paralelas; as diferentes alturas c deslocam essas linhas.
Como esboçar na prova (passo a passo rápido para desenhar):
  1. Desenhar eixos x,y,z (z apontando para cima).
  2. Marcar os três pontos interceptos (0,0,6), (2,0,0) e (0,3,0).
  3. Traçar o triângulo que liga esses três pontos e estender como um plano passando por eles.
  4. Se quiser, desenhar algumas linhas de nível projetadas no plano xy (retas paralelas) para indicar a inclinação.

Passo 5

Resumo e dicas para a prova (como repetir este raciocínio rápido):
  • Sempre verifique se a expressão tem divisões, raízes pares, logaritmos etc.; aqui não tem, então domínio é \mathbb{R}^2.
  • Para a imagem tente resolver z=f(x,y) para ver se, dado z_0, existe (x,y) que dá esse z_0. Aqui sempre existe, logo imagem é \mathbb{R}.
  • Para o gráfico identifique que tipo de superfície é (aqui plano), calcule normal e interceptos, e use-os para esboçar. Isso funciona rápido na prova.
Força aí — esse tipo é clássico e rápido: domínio \mathbb{R}^2, imagem \mathbb{R}, gráfico é um plano inclinado passando por (0,0,6), (2,0,0) e (0,3,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=6-3x-2y\}

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