Determine e esboce o domínio da função, determine a imagem da função e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede três coisas:
- Determinar e esboçar o domínio da função.
- Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de saída) da função.
- Esboçar o gráfico da função.
As informações que temos são apenas a expressão algébrica
. Não há nenhuma restrição explícita (como raiz de índice par, divisão por zero, logaritmo etc.) no enunciado.
Passo 2
O que é domínio e como encontrei aqui (passo didático):
- Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define a função faz sentido. - Se a expressão envolver divisão, raiz par, logaritmo, etc., isso pode restringir o domínio. Mas se for um polinômio (somente somas e produtos de
e e constantes) não há restrição: todo par real é válido.
A função dada é linear (polinomial de grau 1) eme , então não tem restrição. Logo o domínio é
Passo 3
O que é imagem (ou conjunto-valor) e como achar aqui:
- A imagem é o conjunto de todos os números reais
que aparecem como para algum do domínio. - Uma maneira prática: escrevemos
e, dado um valor qualquer , tentamos encontrar tais que
Isso é uma equação linear em
. Por exemplo, escolhendo arbitrariamente
obtemos
que sempre tem solução real para qualquer
. Portanto, para qualquer
existe
com
. Isso mostra que a imagem é todo
.
Exemplo concreto para fixar a ideia: para
escolha
e
porque
. Para
escolha
e
pois
.
Passo 4
Descrição do gráfico (o que desenhar) e propriedades importantes para esboçar:
- O gráfico de
é o conjunto de pontos satisfazendo
- Essa equação é a equação de um plano no espaço tridimensional. Para escrever na forma com coeficientes do plano, reorganiza-se:
A normal a esse plano é o vetor
(ou seja, um vetor perpendicular ao plano).
- Interseções com os eixos (pontos fáceis para desenhar):
- Interseção com o eixo
(quando ): . Ponto . - Interseção com o eixo
(quando ): . Ponto . - Interseção com o eixo
(quando ): . Ponto .
- Interseção com o eixo
- Inclinações: ao aumentar
em (mantendo fixo), diminui em . Ao aumentar em (com fixo), diminui em . Isso ajuda a posicionar a face inclinada do plano. - Curvas de nível (ajudam no esboço em planta): para cada constante
a curva de nível é
ou seja, retas paralelas de coeficiente angular
. No plano
elas são linhas paralelas; as diferentes alturas
deslocam essas linhas.
Como esboçar na prova (passo a passo rápido para desenhar):
- Desenhar eixos
(z apontando para cima). - Marcar os três pontos interceptos
, e . - Traçar o triângulo que liga esses três pontos e estender como um plano passando por eles.
- Se quiser, desenhar algumas linhas de nível projetadas no plano
(retas paralelas) para indicar a inclinação.
Passo 5
Resumo e dicas para a prova (como repetir este raciocínio rápido):
- Sempre verifique se a expressão tem divisões, raízes pares, logaritmos etc.; aqui não tem, então domínio é
. - Para a imagem tente resolver
para ver se, dado , existe que dá esse . Aqui sempre existe, logo imagem é . - Para o gráfico identifique que tipo de superfície é (aqui plano), calcule normal e interceptos, e use-os para esboçar. Isso funciona rápido na prova.
Força aí — esse tipo é clássico e rápido: domínio
, imagem
, gráfico é um plano inclinado passando por
,
e
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico:
Imagem:
Gráfico: