Uma função f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é chamada função homogênea de grau n \in \mathbb{Z} se
f(t x, t y)=t^{n} f(x, y)para todo t>0 e para todo (x, y) \in D tais que (t x, t y) \in D. Determine se as funções abaixo são homogêneas.
f(x, y)=\frac{x e^{x / y}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a função
f(x,y)=\frac{x e^{x/y}}{x^{2}+y^{2}}
é uma função homogênea, isto é, verificar se existe um inteiro n tal que
f(t x,t y)=t^{n}f(x,y)
para todo t>0 e para todo (x,y) do domínio apropriado.
Informações dadas e restrições óbvias do enunciado:
  • A expressão contém x/y, portanto é necessário que y\neq 0.
  • O denominador x^{2}+y^{2} não pode ser zero simultaneamente com o numerador, mas como y\neq 0 já temos x^{2}+y^{2}>0. Logo o domínio natural é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq 0\}.
  • A condição do problema exige que, ao checar f(t x,t y), o par (t x,t y) também pertença a D. Como t>0 e y\neq 0, tem-se t y\neq 0, então essa exigência fica satisfeita.

Passo 2

Lembrete didático do teste a aplicar (definição e estratégia):
  • Uma função f é homogênea de grau n se, para todo t>0 e todo (x,y) no domínio,
f(t x,t y)=t^{n}f(x,y).
  • Para testar isso na prática, calculamos f(t x,t y) substituindo x por t x e y por t y na expressão de f, e então tentamos fatorar potências de t para ver se surge um único fator t^{n} multiplicando f(x,y).
Explanação das propriedades que usarei:
  • Propriedade de potências: (t x)^{2}=t^{2}x^{2}.
  • Propriedade de exponencial: e^{(t x)/(t y)}=e^{x/y} porque o t cancela no quociente.
    Vou usar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular explicitamente f(t x,t y) começando pela substituição direta:
f(t x,t y)=\frac{(t x)\,e^{(t x)/(t y)}}{(t x)^{2}+(t y)^{2}}.
Agora aplicar as propriedades indicadas: no expoente o t simplifica e nos quadrados surge t^{2}:
f(t x,t y)=\frac{t x\,e^{x/y}}{t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}}.

Passo 4

Fatorar t^{2} no denominador e simplificar com o fator t do numerador:
f(t x,t y)=\frac{t x\,e^{x/y}}{t^{2}(x^{2}+y^{2})}.
Dividindo numerador e denominador por t (ou, equivalentemente, extraindo fator t^{-1}):
f(t x,t y)=\frac{1}{t}\cdot\frac{x\,e^{x/y}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Reconhecer a expressão obtida em relação a f(x,y). Pela definição de f temos \displaystyle f(x,y)=\frac{x\,e^{x/y}}{x^{2}+y^{2}}. Assim:
f(t x,t y)=\frac{1}{t}\,f(x,y)=t^{-1}f(x,y).
Isto mostra que a identidade da homogeneidade é satisfeita com n=-1.
Comentário didático final: a razão pela qual o expoente exponencial e^{x/y} não introduziu fator de t é que a substituição x\mapsto t x, y\mapsto t y deixa inalterado o quociente x/y. O denominador trouxe um t^{2} e o numerador um t, resultando no fator global t^{-1}.

Passo 6

Conclusão interpretativa e dica de prova: a função é homogênea porque, ao escalar as variáveis por t>0, a função sofre apenas multiplicação por uma potência de t. Em prova, basta sempre fazer a substituição x\mapsto t x, y\mapsto t y, simplificar expoentes e potências, e verificar se aparece um único fator t^{n} fora de f(x,y).

Resposta

Sim. A função é homogênea de grau -1.

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