Uma função
é chamada função homogênea de grau
se
para todo
e para todo
tais que
. Determine se as funções abaixo são homogêneas.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a função
é uma função homogênea, isto é, verificar se existe um inteiro
tal que
para todo
e para todo
do domínio apropriado.
Informações dadas e restrições óbvias do enunciado:
- A expressão contém
, portanto é necessário que . - O denominador
não pode ser zero simultaneamente com o numerador, mas como já temos . Logo o domínio natural é
- A condição do problema exige que, ao checar
, o par também pertença a . Como e , tem-se , então essa exigência fica satisfeita.
Passo 2
Lembrete didático do teste a aplicar (definição e estratégia):
- Uma função
é homogênea de grau se, para todo e todo no domínio,
- Para testar isso na prática, calculamos
substituindo por e por na expressão de , e então tentamos fatorar potências de para ver se surge um único fator multiplicando .
Explanação das propriedades que usarei:
- Propriedade de potências:
. - Propriedade de exponencial:
porque o cancela no quociente.
Vou usar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular explicitamente
começando pela substituição direta:
Agora aplicar as propriedades indicadas: no expoente o
simplifica e nos quadrados surge
:
Passo 4
Fatorar
no denominador e simplificar com o fator
do numerador:
Dividindo numerador e denominador por
(ou, equivalentemente, extraindo fator
):
Passo 5
Reconhecer a expressão obtida em relação a
. Pela definição de
temos
. Assim:
Isto mostra que a identidade da homogeneidade é satisfeita com
.
Comentário didático final: a razão pela qual o expoente exponencial
não introduziu fator de
é que a substituição
,
deixa inalterado o quociente
. O denominador trouxe um
e o numerador um
, resultando no fator global
.
Passo 6
Conclusão interpretativa e dica de prova: a função é homogênea porque, ao escalar as variáveis por
, a função sofre apenas multiplicação por uma potência de
. Em prova, basta sempre fazer a substituição
,
, simplificar expoentes e potências, e verificar se aparece um único fator
fora de
.
Resposta
Sim. A função é homogênea de grau
.