Encontre o vetor tangente unitário à curva, no ponto indicado.
\vec{r}(t)=\left(t, 2 t^{2}, 3 t^{3}\right) ; P_{0}(1,2,3)

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário à curva paramétrica \vec r(t)=(t,2t^2,3t^3)
no ponto P_0=(1,2,3).
O conteúdo envolvido é cálculo de curvas em \mathbb{R}^3: derivar componente a componente e depois normalizar o vetor tangente.

Passo 2

Encontrar o valor de t_0 tal que \vec r(t_0)=P_0.
Como \vec r(t)=(t,2t^2,3t^3),
temos
t_0=1
pois \,(1,2\cdot1^2,3\cdot1^3)=(1,2,3).

Passo 3

Calcular o vetor derivada \vec r\,'(t) e avaliá-lo em t_0=1.
Derivando componente a componente,
\vec r\,'(t)=(1,4t,9t^2).
Logo,
\vec r\,'(1)=(1,4,9).

Passo 4

Normalizar \vec r\,'(1) para obter o vetor tangente unitário \vec T(1).
O módulo é
\|\vec r\,'(1)\|=\sqrt{1^2+4^2+9^2}=\sqrt{1+16+81}=\sqrt{98}.
Então
\vec T(1)=\frac{\vec r\,'(1)}{\|\vec r\,'(1)\|} =\frac{1}{\sqrt{98}}\,(1,4,9).

Resposta

\vec T(1)=\frac{1}{\sqrt{98}}\,(1,4,9).

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