Encontre o vetor tangente unitário à curva, no ponto indicado.
\vec{r}(t)=t \vec{i}+\left(t^{2}+1\right) \vec{j}, t \in[0,4] ; P_{0}(2,5)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por \vec{r}(t)=t\vec{i} + \bigl(t^{2}+1\bigr)\vec{j} para t\in[0,4] e pede o vetor tangente unitário no ponto P_{0}(2,5). Para isso, precisamos (1) achar o parâmetro t_{0} correspondente a P_{0}, (2) calcular a derivada \vec{r}'(t), (3) avaliar em t_{0}, (4) determinar o módulo desse vetor e (5) dividir pela magnitude para obter o vetor unitário.

Passo 2

Buscamos t_{0} tal que \vec{r}(t_{0})=P_{0}(2,5). Da coordenada x=t segue t_{0}=2. Conferindo em y=t^{2}+1: 2^{2}+1=5, que coincide com a ordenada de P_{0}.

Passo 3

Calculamos a derivada da função vetor:
\vec{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl\langle t,\;t^{2}+1\bigr\rangle = \bigl\langle 1,\;2t\bigr\rangle.

Passo 4

Avaliamo-la em t_{0}=2:
\vec{r}'(2) = \langle 1,\,2\cdot2\rangle = \langle 1,4\rangle.

Passo 5

Determinamos o módulo de \vec{r}'(2):
\bigl\|\vec{r}'(2)\bigr\| = \sqrt{1^{2}+4^{2}} = \sqrt{17}.

Passo 6

O vetor tangente unitário é o vetor derivada dividido pelo seu módulo. Assim,
\vec{T}(2) = \frac{\vec{r}'(2)}{\|\vec{r}'(2)\|} = \frac{1}{\sqrt{17}}\langle 1,4\rangle.

Resposta

\vec{T}(2)=\frac{1}{\sqrt{17}}\langle 1,4\rangle.

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