Encontre o vetor tangente unitário à curva, no ponto indicado.
\vec{r}(t)=t \vec{i}+\left(t^{2}+1\right) \vec{j}, t \in[0,4] ; P_{0}(2,5)
\vec{r}(t)=t \vec{i}+\left(t^{2}+1\right) \vec{j}, t \in[0,4] ; P_{0}(2,5)
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada por
para
e pede o vetor tangente unitário no ponto
. Para isso, precisamos (1) achar o parâmetro
correspondente a
, (2) calcular a derivada
, (3) avaliar em
, (4) determinar o módulo desse vetor e (5) dividir pela magnitude para obter o vetor unitário.
Passo 2
Buscamos
tal que
. Da coordenada
segue
. Conferindo em
:
, que coincide com a ordenada de
.
Passo 3
Calculamos a derivada da função vetor:
Passo 4
Avaliamo-la em
:
Passo 5
Determinamos o módulo de
:
Passo 6
O vetor tangente unitário é o vetor derivada dividido pelo seu módulo. Assim,