Determine e esboce o dominio da função. Se for possível determine a imagem da função.
f(x, y)=\sqrt{y}-\sqrt{x^{2}-y^{2}-9}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar e esboçar o domínio da função f dada por
f(x,y)=\sqrt{y}-\sqrt{x^{2}-y^{2}-9}.
  • Se for possível, determinar a imagem (conjunto de valores) de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve duas raízes quadradas reais: \sqrt{y} e \sqrt{x^{2}-y^{2}-9}.
  • Para que f(x,y) seja um número real, os radicandos dessas raízes devem ser não negativos.

Passo 2

Condição para a primeira raiz:
\sqrt{y}\\ \text{ser real} \quad\Longrightarrow\quad y \ge 0.
Explicação didática: a raiz quadrada real existe somente quando o número dentro da raiz é maior ou igual a zero. Aqui a primeira raiz exige y\ge 0.
Condição para a segunda raiz:
\sqrt{x^{2}-y^{2}-9}\\ \text{ser real} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-y^{2}-9 \ge 0.
Ou seja,
x^{2}-y^{2} \ge 9.
Explicação didática: aplicou-se a mesma regra; o radicando deve ser não negativo.

Passo 3

Vamos interpretar geometricamente a desigualdade x^{2}-y^{2}\ge 9.
Reescrevendo,
\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}\ge 1,
que é a desigualdade correspondente ao exterior da hipérbole padrão
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1.
Explicação didática: a equação \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 descreve uma hipérbole com ramos abrindo para a direita e para a esquerda; aqui a=b=3, portanto os vértices estão em (\pm 3,0) e as assimptotas são y=\pm x. A desigualdade \ge 1 indica a região externa aos ramos (ou seja, |x| é no mínimo \sqrt{y^{2}+9}).
Também podemos expressar a condição de forma útil para decisão sobre x:
|x| \ge \sqrt{y^{2}+9}.
Isso vale sempre que y\ge 0 (da outra condição).

Passo 4

Conclusão sobre o domínio (descrição): o domínio D é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente y\ge 0 e x^{2}-y^{2}\ge 9. Em notação:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge 0,\; x^{2}-y^{2}\ge 9\}.
Esboço (descrição do desenho): para desenhar o domínio
  • Desenhe a hipérbole \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{9}=1 (vértices em (\pm3,0), ramos abertos para direita e esquerda).
  • Marque a semi-plano y\ge 0 (acima do eixo x).
  • O domínio é a interseção desse semi-plano com a região externa da hipérbole, ou seja, os dois ramos superiores (um ramo à direita para x\ge +\sqrt{y^{2}+9} e outro à esquerda para x\le -\sqrt{y^{2}+9}), incluindo as fronteiras onde a igualdade ocorre (porque as raízes ficam então zero e a expressão é bem definida).

Passo 5

Agora vamos estudar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
Defina, para facilitar a visualização,
u=\sqrt{y}\ge 0,\qquad v=\sqrt{x^{2}-y^{2}-9}\ge 0.
Então
f(x,y)=u-v.
Explicação didática: como u e v são não negativos, para um y fixo o valor máximo possível de f ocorre quando v é mínimo; o valor mínimo de f ocorre quando v tende a +\infty (se possível).

Passo 6

Análise para um y fixo (com y\ge 0):
  • Para esse y, u=\sqrt{y} é fixo.
  • Os valores possíveis de v=\sqrt{x^{2}-y^{2}-9} variam em [0,+\infty). Justificativa: para esse y fixo, a condição de domínio impõe |x|\ge \sqrt{y^{2}+9}, e tomando |x| arbitrariamente grande faz v\to+\infty; tomando |x|=\sqrt{y^{2}+9} faz v=0.
    Portanto, para esse y fixo,
f(x,y)=u-v \in (-\infty,\, u].
Isto é, a partir de um mesmo y conseguimos todos os valores menores ou iguais a \sqrt{y}.

Passo 7

Agora varie y por todos os valores permitidos ( y\ge 0). A imagem total é a união, sobre y\ge 0, dos intervalos (-\infty,\sqrt{y}]:
\operatorname{Im}(f)=\bigcup_{y\ge 0}(-\infty,\sqrt{y}].
Como \sqrt{y} pode ser arbitrariamente grande quando y\to+\infty, a união acima é todo o conjunto dos números reais. Em termos simples:
\bigcup_{y\ge 0}(-\infty,\sqrt{y}]=(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}.

Passo 8

Construção explícita para mostrar que qualquer t\in\mathbb{R} é atingido por f (prova construtiva):
  • Se t\ge 0: escolha y=t^{2} (que satisfaz y\ge 0) e escolha x com |x|=\sqrt{y^{2}+9} (assim v=0). Então
f(x,y)=\sqrt{y}-0=\sqrt{t^{2}}=t.
  • Se t<0: escolha y=0 e escolha x tal que
\sqrt{x^{2}-0-9}=-t\quad(\text{note que }-t>0).
Isto é, escolha |x|=\sqrt{t^{2}+9} (que satisfaz |x|\ge 3). Então
f(x,0)=0-\sqrt{x^{2}-9}= -\sqrt{t^{2}}=t.
Assim todo t\in\mathbb{R} é atingido por f, confirmando que a imagem é \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge 0,\; x^{2}-y^{2}\ge 9\}.
Imagem: \mathbb{R}.

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