Determine e esboce o dominio da função. Se for possível determine a imagem da função.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar e esboçar o domínio da função
dada por
- Se for possível, determinar a imagem (conjunto de valores) de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve duas raízes quadradas reais:
e . - Para que
seja um número real, os radicandos dessas raízes devem ser não negativos.
Passo 2
Condição para a primeira raiz:
Explicação didática: a raiz quadrada real existe somente quando o número dentro da raiz é maior ou igual a zero. Aqui a primeira raiz exige
.
Condição para a segunda raiz:
Ou seja,
Explicação didática: aplicou-se a mesma regra; o radicando deve ser não negativo.
Passo 3
Vamos interpretar geometricamente a desigualdade
.
Reescrevendo,
que é a desigualdade correspondente ao exterior da hipérbole padrão
Explicação didática: a equação
descreve uma hipérbole com ramos abrindo para a direita e para a esquerda; aqui
, portanto os vértices estão em
e as assimptotas são
. A desigualdade
indica a região externa aos ramos (ou seja,
é no mínimo
).
Também podemos expressar a condição de forma útil para decisão sobre
:
Isso vale sempre que
(da outra condição).
Passo 4
Conclusão sobre o domínio (descrição): o domínio
é o conjunto dos pontos
que satisfazem simultaneamente
e
. Em notação:
Esboço (descrição do desenho): para desenhar o domínio
- Desenhe a hipérbole
(vértices em , ramos abertos para direita e esquerda). - Marque a semi-plano
(acima do eixo ). - O domínio é a interseção desse semi-plano com a região externa da hipérbole, ou seja, os dois ramos superiores (um ramo à direita para
e outro à esquerda para ), incluindo as fronteiras onde a igualdade ocorre (porque as raízes ficam então zero e a expressão é bem definida).
Passo 5
Agora vamos estudar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Defina, para facilitar a visualização,
Então
Explicação didática: como
e
são não negativos, para um
fixo o valor máximo possível de
ocorre quando
é mínimo; o valor mínimo de
ocorre quando
tende a
(se possível).
Passo 6
Análise para um
fixo (com
):
- Para esse
, é fixo. - Os valores possíveis de
variam em . Justificativa: para esse fixo, a condição de domínio impõe , e tomando arbitrariamente grande faz ; tomando faz .
Portanto, para essefixo,
Isto é, a partir de um mesmo
conseguimos todos os valores menores ou iguais a
.
Passo 7
Agora varie
por todos os valores permitidos (
). A imagem total é a união, sobre
, dos intervalos
:
Como
pode ser arbitrariamente grande quando
, a união acima é todo o conjunto dos números reais. Em termos simples:
Passo 8
Construção explícita para mostrar que qualquer
é atingido por
(prova construtiva):
- Se
: escolha (que satisfaz ) e escolha com (assim ). Então
- Se
: escolha e escolha tal que
Isto é, escolha
(que satisfaz
). Então
Assim todo
é atingido por
, confirmando que a imagem é
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
.