Esboce o gráfico da função.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se esboce o gráfico da superfície definida por essa função (isto é, o conjunto de pontos
tais que
). Informações e pedidos claros:
- Função fornecida:
. - Pergunta: esboçar o gráfico (superfície em
). - Não há restrição adicional (domínio, parâmetros, etc.) apresentada no enunciado.
Passo 2
Domínio e imagens imediatas: qual o domínio de
e qual o menor valor que
assume?
- A expressão
é sempre para todos os reais e . Portanto a raiz quadrada está bem definida para todo par . - Logo o domínio é todo o plano:
. - Como
, tem-se . - O menor valor
é atingido quando , isto é em . Portanto a superfície tem um ponto mínimo (vértice) em .
Passo 3
Nível e curvas de nível (fatias horizontais): para entender a forma, veja as interseções com planos horizontais
constante.
- Suponha
com . Igualando:
- Isso é a equação de uma elipse centrada na origem no plano
. Escrevendo em forma normalizada:
- Portanto, para cada altura
a interseção é uma elipse com semi-eixo em igual a e em igual a . As elipses crescem linearmente com e são alongadas na direção (porque o semi-eixo em é três vezes maior que o de ).
Passo 4
Exemplos numéricos de curvas de nível (úteis para o esboço):
- Para
(ou seja ) tem e a elipse é
portanto semi-eixos
e
. É uma elipse estreita em
e mais longa em
.
- Para
tem e a elipse
ou seja semi-eixos
e
.
- Esses exemplos ajudam a desenhar algumas elipses empilhadas que representam a superfície.
Passo 5
Traços verticais nas seções nas retas principais (cortes pelos planos coordenados):
- Corte pelo plano
: . Assim a interseção com o plano é uma linha em V com vértice em e inclinações ±3 (isto é, para a rampa tem coeficiente angular , para tem coeficiente ). - Corte pelo plano
: . A interseção com é uma linha em V com inclinações ±1. - Essas duas fatias mostram que a superfície abre em forma de cone (ou “pico”) mas com abertura diferente nas direções
e — é um cone elíptico.
Passo 6
Traços ao longo de retas que passam pela origem — comportamento radial: explicação geral que confirma a forma cônica.
- Considere a reta
(passando pela origem). Substituindo:
- Ou seja, ao movimentar-se ao longo de qualquer reta que saia da origem obtemos uma curva em V com inclinações
. Como a inclinação depende apenas do ângulo da reta mas cresce linearmente com a distância do vértice, isso é a característica de um cone (linear em distância radial). - Conclusão: a superfície é um cone com eixo vertical cujo vértice está em
, porém é um cone elíptico (não circular): as aberturas variam com a direção, gerando elipses horizontais.
Passo 7
Representação paramétrica útil para desenhar a superfície:
- Uma parametrização conveniente usa a “distância elíptica”
- Em forma vetorial:
- Essa parametrização mostra que ao fixar
empilhamos elipses enquanto
cresce de forma linear com .]
Passo 8
Regularidade da superfície e observação sobre o vértice:
- Para
a função é diferenciável e a superfície tem plano tangente bem definido. - No ponto
o termo tem comportamento de norma (módulo) e a derivada direcional não é única: o vértice é uma ponta (cúspide) — portanto a superfície não é diferenciável no vértice. Isso é consistente com as interseções em V que vimos nas fatias.
Passo 9
Como esboçar na prática (passo-a-passo de desenho):
- Desenhe os eixos
, (no plano) e o eixo vertical . - Marque o vértice em
— esse é o ponto mais baixo da superfície. - Desenhe a elipse para
: (semi-eixos em e em ). - Desenhe a elipse para
: (semi-eixos em e em ). - Entre essas elipses e acima delas desenhe mais elipses crescendo linearmente com
, sempre mais alongadas na direção . - Desenhe as linhas em V nas fatias
e para marcar claramente as bordas do cone nas direções principais (inclinações e respectivamente). - Una as elipses por uma superfície lisa formando a “casca” do cone elíptico que abre para cima a partir de
.
Passo 10
Resumo intuitivo e palavras finais (para decorar na prova):
-
é um cone elíptico cujo vértice é e cujas seções horizontais são elipses . - Em direções radiais obtém-se crescimento linear do tipo
(com constante dependendo da direção), e a superfície não é diferenciável apenas no vértice. - Para esboçar: empilhar elipses com semi-eixos
(em ) e (em ), e lembrar das fatias em V nas direções principais para acertar a abertura.
Resposta
Superfície em forma de cone elíptico com vértice em
; para cada
a interseção com
é a elipse
(semi-eixos
em
e
em
); cortes por
e
dão
e
, respectivamente, mostrando as aberturas distintas; a superfície abre para cima e não é diferenciável no vértice
.