Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=\sqrt{9 x^{2}+y^{2}}+2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{9x^{2}+y^{2}}+2 e pede que se esboce o gráfico da superfície definida por essa função (isto é, o conjunto de pontos (x,y,z) tais que z=f(x,y)). Informações e pedidos claros:
  • Função fornecida: f(x,y)=\sqrt{9x^{2}+y^{2}}+2.
  • Pergunta: esboçar o gráfico (superfície em \mathbb{R}^{3}).
  • Não há restrição adicional (domínio, parâmetros, etc.) apresentada no enunciado.

Passo 2

Domínio e imagens imediatas: qual o domínio de f e qual o menor valor que z assume?
  • A expressão 9x^{2}+y^{2} é sempre \ge 0 para todos os reais x e y. Portanto a raiz quadrada está bem definida para todo par (x,y).
  • Logo o domínio é todo o plano: \{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
  • Como \sqrt{9x^{2}+y^{2}}\ge 0, tem-se f(x,y)=\sqrt{9x^{2}+y^{2}}+2\ge 2.
  • O menor valor z_{\min}=2 é atingido quando 9x^{2}+y^{2}=0, isto é em (x,y)=(0,0). Portanto a superfície tem um ponto mínimo (vértice) em (0,0,2).

Passo 3

Nível e curvas de nível (fatias horizontais): para entender a forma, veja as interseções com planos horizontais z= constante.
  • Suponha z=c com c\ge 2. Igualando:
c=\sqrt{9x^{2}+y^{2}}+2
\sqrt{9x^{2}+y^{2}}=c-2
9x^{2}+y^{2}=(c-2)^{2}.
  • Isso é a equação de uma elipse centrada na origem no plano z=c. Escrevendo em forma normalizada:
\frac{x^{2}}{\bigl(\dfrac{c-2}{3}\bigr)^{2}}+\frac{y^{2}}{(c-2)^{2}}=1.
  • Portanto, para cada altura c>2 a interseção é uma elipse com semi-eixo em x igual a \dfrac{c-2}{3} e em y igual a c-2. As elipses crescem linearmente com c-2 e são alongadas na direção y (porque o semi-eixo em y é três vezes maior que o de x).

Passo 4

Exemplos numéricos de curvas de nível (úteis para o esboço):
  • Para z=3 (ou seja c=3) tem c-2=1 e a elipse é
9x^{2}+y^{2}=1,
portanto semi-eixos a_x=\dfrac{1}{3} e a_y=1. É uma elipse estreita em x e mais longa em y.
  • Para z=5 tem c-2=3 e a elipse
9x^{2}+y^{2}=9,
ou seja semi-eixos a_x=1 e a_y=3.
  • Esses exemplos ajudam a desenhar algumas elipses empilhadas que representam a superfície.

Passo 5

Traços verticais nas seções nas retas principais (cortes pelos planos coordenados):
  • Corte pelo plano y=0: z=\sqrt{9x^{2}}+2=3|x|+2. Assim a interseção com o plano y=0 é uma linha em V com vértice em (0,0,2) e inclinações ±3 (isto é, para x>0 a rampa tem coeficiente angular +3, para x<0 tem coeficiente -3).
  • Corte pelo plano x=0: z=\sqrt{y^{2}}+2=|y|+2. A interseção com x=0 é uma linha em V com inclinações ±1.
  • Essas duas fatias mostram que a superfície abre em forma de cone (ou “pico”) mas com abertura diferente nas direções x e y — é um cone elíptico.

Passo 6

Traços ao longo de retas que passam pela origem — comportamento radial: explicação geral que confirma a forma cônica.
  • Considere a reta y=mx (passando pela origem). Substituindo:
z=\sqrt{9x^{2}+m^{2}x^{2}}+2=\sqrt{(9+m^{2})x^{2}}+2=\sqrt{9+m^{2}}\;|x|+2.
  • Ou seja, ao movimentar-se ao longo de qualquer reta que saia da origem obtemos uma curva em V com inclinações \pm\sqrt{9+m^{2}}. Como a inclinação depende apenas do ângulo da reta mas cresce linearmente com a distância do vértice, isso é a característica de um cone (linear em distância radial).
  • Conclusão: a superfície é um cone com eixo vertical cujo vértice está em (0,0,2), porém é um cone elíptico (não circular): as aberturas variam com a direção, gerando elipses horizontais.

Passo 7

Representação paramétrica útil para desenhar a superfície:
  • Uma parametrização conveniente usa a “distância elíptica” u=\sqrt{9x^{2}+y^{2}}\) (que satisfaz \(u\ge 0\) e \(z=2+u\)). Podemos escrever, para \(u\ge 0\) e \(\theta\in[0,2\pi)\), \[\begin{cases} x=\dfrac{u\cos\theta}{3},\\[4pt] y=u\sin\theta,\\[4pt] z=2+u. \end{cases}
  • Em forma vetorial:
\mathbf{r}(u,\theta)=\left(\dfrac{u\cos\theta}{3},\,u\sin\theta,\,2+u\right).
  • Essa parametrização mostra que ao fixar u\] obtemos a elipse horizontal com os semi-eixos dados antes; variando \(u empilhamos elipses enquanto z cresce de forma linear com u.]

Passo 8

Regularidade da superfície e observação sobre o vértice:
  • Para (x,y)\neq(0,0) a função g(x,y)=\sqrt{9x^{2}+y^{2}} é diferenciável e a superfície tem plano tangente bem definido.
  • No ponto (0,0,2) o termo \sqrt{9x^{2}+y^{2}} tem comportamento de norma (módulo) e a derivada direcional não é única: o vértice é uma ponta (cúspide) — portanto a superfície não é diferenciável no vértice. Isso é consistente com as interseções em V que vimos nas fatias.

Passo 9

Como esboçar na prática (passo-a-passo de desenho):
  1. Desenhe os eixos x, y (no plano) e o eixo vertical z.
  2. Marque o vértice em (0,0,2) — esse é o ponto mais baixo da superfície.
  3. Desenhe a elipse para z=3: 9x^{2}+y^{2}=1 (semi-eixos 1/3 em x e 1 em y).
  4. Desenhe a elipse para z=5: 9x^{2}+y^{2}=9 (semi-eixos 1 em x e 3 em y).
  5. Entre essas elipses e acima delas desenhe mais elipses crescendo linearmente com z-2, sempre mais alongadas na direção y.
  6. Desenhe as linhas em V nas fatias y=0 e x=0 para marcar claramente as bordas do cone nas direções principais (inclinações 3 e 1 respectivamente).
  7. Una as elipses por uma superfície lisa formando a “casca” do cone elíptico que abre para cima a partir de (0,0,2).

Passo 10

Resumo intuitivo e palavras finais (para decorar na prova):
  • z=2+\sqrt{9x^{2}+y^{2}} é um cone elíptico cujo vértice é (0,0,2) e cujas seções horizontais z=c são elipses 9x^{2}+y^{2}=(c-2)^{2}.
  • Em direções radiais obtém-se crescimento linear do tipo z=2+\text{const}\cdot r (com constante dependendo da direção), e a superfície não é diferenciável apenas no vértice.
  • Para esboçar: empilhar elipses com semi-eixos \dfrac{c-2}{3} (em x) e c-2 (em y), e lembrar das fatias em V nas direções principais para acertar a abertura.

Resposta

Superfície em forma de cone elíptico com vértice em (0,0,2); para cada c\ge 2 a interseção com z=c é a elipse 9x^{2}+y^{2}=(c-2)^{2} (semi-eixos \dfrac{c-2}{3} em x e c-2 em y); cortes por y=0 e x=0 dão z=3|x|+2 e z=|y|+2, respectivamente, mostrando as aberturas distintas; a superfície abre para cima e não é diferenciável no vértice (0,0,2).

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