Determine e esboce o domínio e a imagem das funções.
f(x, y)=\sqrt{x+y};

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine e esboce o domínio e a imagem da função
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \quad,\quad f(x,y)=\sqrt{x+y}.
Para isso, vamos usar o fato de que o radicando deve ser não-negativo para que a função esteja bem definida, e depois analisar quais valores podem ser alcançados por f.

Passo 2

Para encontrar o domínio, impomos que o termo dentro da raiz seja real, ou seja,
x+y \ge 0.
Logo o domínio é
\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \ge 0\},
que corresponde à região do plano em ou acima da reta x+y=0.

Passo 3

No esboço do domínio, desenhamos a reta
x+y=0
e sombreia­mos a região onde x+y\ge0. Essa região inclui a própria reta e se estende indefinidamente para o “lado de cima”, onde a soma das coordenadas é não-negativa.

Passo 4

Para a imagem, observamos que a função raiz quadrada só produz valores não-negativos. Como x+y pode variar em [0,\infty), temos
f(x,y)=\sqrt{x+y}
varrendo todos os valores em [0,\infty). Portanto, a imagem é o intervalo [0,\infty).

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y\ge 0\}
Imagem: [0,\infty).

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