Exercício 8. Encontre as coordenadas esféricas do ponto dado em coordenadas cartesianas.
(1,0, \sqrt{3});

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (1,0,\sqrt{3}) em coordenadas esféricas. Neste sistema usamos \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \theta para o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x, e
\varphi = \operatorname{arccos}\bigl(z/\rho\bigr)
para o ângulo polar medido a partir do eixo z.

Passo 2

Calcular o raio \rho:
\rho = \sqrt{1^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = 2.

Passo 3

Determinar o ângulo azimutal \theta no plano xy:
\theta = \arctan\bigl(y/x\bigr) = \arctan(0/1) = 0.

Passo 4

Determinar o ângulo polar \varphi a partir do eixo z:
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(z/\rho\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\sqrt{3}/2\bigr) = \pi/6.

Resposta

As coordenadas esféricas são
(\rho,\theta,\varphi) = \bigl(2,\;0,\;\pi/6\bigr).

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