Exercício 8. Encontre as coordenadas esféricas do ponto dado em coordenadas cartesianas.
(0,-2,0);

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) do ponto dado em coordenadas cartesianas (0,-2,0). Na convenção matemática mais comum usamos: \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\quad(\text{ângulo azimutal no plano }xy,\text{ ajustado ao quadrante})â
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr)\quad(\text{ângulo polar medido a partir do eixo }z)â

Passo 2

Calculamos primeiro o raio \rho. Substituindo x=0, y=-2 e z=0:
\rho = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2.

Passo 3

Agora o ângulo azimutal \theta. Como x=0 e y=-2<0, o ponto está sobre o eixo y negativo. Nessa direção,
\theta = \frac{3\pi}{2}
(ou equivalentemente -\tfrac{\pi}{2}, mas adotamos o intervalo padrão 0 \le \theta < 2\pi).

Passo 4

Por fim, o ângulo polar \varphi é dado por
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{0}{2}\bigr) = \operatorname{arccos}(0) = \frac{\pi}{2}.

Resposta

As coordenadas esféricas de (0,-2,0) são
(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(2,\;\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}\Bigr).

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