Exercício 1. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{a^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{a^{x^{2}+y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0).
O conteúdo aqui é limite em múltiplas variáveis e uso de expansão de exponencial para reduzir a um limite de variável única.

Passo 2

Como a expressão depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}, definimos t=r^{2}. Quando (x,y)\to(0,0), temos t\to0^{+} e
f(x,y) =\frac{a^{t}-1}{t}\,.

Passo 3

Reconhecemos o limite de variável única
\lim_{t\to0^{+}}\frac{a^{t}-1}{t}
que é justamente a derivada em zero da função a^{t}. Sabe-se que
\lim_{t\to0}\frac{a^{t}-1}{t}=\ln(a),
para a>0.

Resposta

\displaystyle \ln(a)

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