Esboce curvas de nível das funções.
;
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
Aqui o conteúdo é “curvas de nível” (ou contornos) de uma função de duas variáveis. Para cada constante
, vamos resolver
e entender a forma geométrica do conjunto resultante.
Passo 2
Impondo
temos
Para isolar
e
, aplicamos exponencial em ambos os lados:
Passo 3
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem. Especificamente, podemos escrever
Ou seja, para cada valor de nível
obtemos uma elipse com semi-eixo maior
ao longo do eixo
e semi-eixo menor
ao longo do eixo
.
Passo 4
Para visualizar, escolhemos alguns níveis típicos, por exemplo
:
- Se
, então . A elipse é bem pequena, com interseção no eixo em e no eixo em . - Se
, então , elipse com semi-eixos e . - Se
, então , elipse maior, com semi-eixos e .
Ao desenhar, trace elipses concêntricas que aumentam de tamanho conforme
cresce.
Resposta
As curvas de nível de
são elipses centradas na origem dadas por
ou equivalentemente
para cada constante de nível
.