Esboce curvas de nível das funções.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+4 y^{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr).
Aqui o conteúdo é “curvas de nível” (ou contornos) de uma função de duas variáveis. Para cada constante c, vamos resolver
f(x,y)=c
e entender a forma geométrica do conjunto resultante.

Passo 2

Impondo f(x,y)=c temos
\ln\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)=c.
Para isolar x e y, aplicamos exponencial em ambos os lados:

Passo 3

x^{2}+4y^{2}=e^{c}.
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem. Especificamente, podemos escrever
\frac{x^{2}}{e^{c}}+\frac{y^{2}}{e^{c}/4}=1.
Ou seja, para cada valor de nível c obtemos uma elipse com semi-eixo maior a = \sqrt{e^{c}} ao longo do eixo x e semi-eixo menor
b = \frac{\sqrt{e^{c}}}{2}
ao longo do eixo y.

Passo 4

Para visualizar, escolhemos alguns níveis típicos, por exemplo c=-1,\,0,\,1:
  • Se c=-1, então x^{2}+4y^{2}=e^{-1}. A elipse é bem pequena, com interseção no eixo x em \pm e^{-1/2} e no eixo y em \pm \tfrac{e^{-1/2}}{2}.
  • Se c=0, então x^{2}+4y^{2}=1, elipse com semi-eixos a=1 e b=\tfrac12.
  • Se c=1, então x^{2}+4y^{2}=e, elipse maior, com semi-eixos \sqrt{e} e \tfrac{\sqrt{e}}{2}.
Ao desenhar, trace elipses concêntricas que aumentam de tamanho conforme c cresce.

Resposta

As curvas de nível de
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)
são elipses centradas na origem dadas por
x^{2}+4y^{2}=e^{c},
ou equivalentemente
\frac{x^{2}}{e^{c}}+\frac{y^{2}}{e^{c}/4}=1,
para cada constante de nível c\in\mathbb{R}.

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