Determine e esboce o domínio das seguintes funções vetoriais.
F(t)=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}} i+\sqrt{x^{2}+y^{2}-1} j+z k.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
F(x,y,z) = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}\;\mathbf{i} \;+\;\sqrt{x^{2} + y^{2} - 1}\;\mathbf{j}\;+\;z\;\mathbf{k}.
Conteúdo: domínio de funções vetoriais com raízes quadradas. Para ter valores reais, ambos os radicandos devem ser não-negativos.

Passo 2

Impondo as condições de existência das raízes, temos
2 - x^{2} - y^{2} \ge 0 \quad\text{e}\quad x^{2} + y^{2} - 1 \ge 0.
Reescrevendo as desigualdades:
x^{2} + y^{2} \le 2 \quad\text{e}\quad x^{2} + y^{2} \ge 1,
ou seja,
1 \le x^{2} + y^{2} \le 2.
No plano xy isso corresponde a um anel fechado entre os círculos de raio 1 e raio \sqrt{2}.

Passo 3

Como a coordenada z não está restringida por nenhum radicando, o domínio é esse anel em xy extrudado ao longo de todo o eixo z. Geometricamente, é um “cilindro anular” infinito em z.

Passo 4

Para esboçar, desenhe no plano xy dois círculos concêntricos de raios 1 e \sqrt{2}, e destaque a região entre eles. Em seguida, imagine esses círculos estendidos indefinidamente para cima e para baixo ao longo do eixo z.

Resposta

D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 \le x^{2} + y^{2} \le 2\bigr\}.

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