Determine e esboce os domínios das funções dadas
f(x, y)=\frac{1}{e^{x}+e^{y}}\\

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto de todos os pares (x,y) em que
f(x,y)=\frac{1}{e^{x}+e^{y}}
está bem definida. O conteúdo envolvido é análise de domínio de uma função de duas variáveis, em que devemos impedir que o denominador seja zero.

Passo 2

Observamos que, para todo x\in\mathbb{R},
e^{x}>0
e análogo para e^{y}. Portanto,
e^{x}+e^{y}>0+0=0.
Isso mostra que o denominador e^{x}+e^{y} nunca se anula.

Passo 3

Como não existe (x,y) tal que e^{x}+e^{y}=0, não há restrição: a função está definida para qualquer par de números reais.

Passo 4

O esboço do domínio é simplesmente todo o plano (x,y). Num gráfico com eixo horizontal x e vertical y, pintamos todo o plano, pois não há nenhum ponto excluído.

Resposta

O domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\}\;=\;\mathbb{R}^2,
isto é, todo o plano cartesiano.

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