Faça o mapa de contorno da função mostrando algumas curvas de nível.
f(x, y)=x+y

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (ou diagrama de curvas de nível) da função
f(x,y)=x+y.
Isso faz parte do estudo de curvas de nível em funções de duas variáveis. Para construir o mapa de contorno, só precisamos criar as equações
f(x,y)=k
para vários valores de k.

Passo 2

Definimos a curva de nível de altura k como
\{(x,y)\mid f(x,y)=k\} \;\Longrightarrow\; \{(x,y)\mid x+y=k\}.
Reescrevendo em função de y, temos
y = k - x,
que é a equação de uma reta no plano com coeficiente angular -1.

Passo 3

Vamos escolher alguns valores “legais” de k, por exemplo
k=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2.
Para cada um:
  • k=-2: y=-2 - x, passa por (-2,0) e (0,-2).
  • k=-1: y=-1 - x, passa por (-1,0) e (0,-1).
  • k=0: y=-x, passa por (0,0).
  • k=1: y=1 - x, passa por (1,0) e (0,1).
  • k=2: y=2 - x, passa por (2,0) e (0,2).

Passo 4

No mapa de contorno, desenhe o sistema de eixos x e y, e então trace essas retas paralelas, todas com inclinação -1, deslocadas conforme o valor de k. Cada reta corresponde a uma curva de nível de altura k. Conforme k aumenta, a reta “sobe” no plano, mantendo o mesmo ângulo de 45^\circ (inclinação -1).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x+y são as retas
x + y = k
para diversos k. Num contorno típico, você verá um feixe de retas paralelas de inclinação -1, por exemplo para k=-2,-1,0,1,2.

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