Determine e esboce o gráfico da única função
, sabendo que
e
. (Integral indefinida - PVI)
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para determinar e esboçar o gráfico da função
, para todo
real, sabendo que a derivada de
em relação a
é
e que
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para resolver uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função
cuja derivada é
. Para isso, vamos integrar a expressão
em relação a
.
Passo 3
A integral de
em relação a
é
, pois
. Já a integral de
em relação a
é
, já que
.
Passo 4
Somando as integrais, obtemos:
onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial fornecida.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Portanto, a função que satisfaz as condições do problema é:
Resposta
A função que satisfaz as condições é
. O gráfico dessa parábola tem vértice no ponto
e intercepta o eixo
em
.