Determine e esboce o gráfico da única função y=y(x), x in R, sabendo que d yd x=2 x-1 e y(0)=0. (Integral indefinida - PVI)

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar e esboçar o gráfico da função y = y(x), para todo x real, sabendo que a derivada de y em relação a x é dydx = 2x - 1 e que y(0) = 0. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para resolver uma equação diferencial simples.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função y(x) cuja derivada é 2x - 1. Para isso, vamos integrar a expressão dydx = 2x - 1 em relação a x.

Passo 3

A integral de 2x em relação a x é x^2, pois integral 2x , dx = x^2. Já a integral de -1 em relação a x é -x, já que integral -1 , dx = -x.

Passo 4

Somando as integrais, obtemos:
y(x) = x^2 - x + C
onde C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial fornecida.

Passo 5

Para encontrar o valor de C, usamos a condição inicial y(0) = 0. Substituindo x = 0 na expressão de y(x):
0 = (0)^2 - (0) + C implies C = 0

Passo 6

Portanto, a função que satisfaz as condições do problema é:
y(x) = x^2 - x

Resposta

A função que satisfaz as condições é y(x) = x^2 - x. O gráfico dessa parábola tem vértice no ponto (0.5, -0.25) e intercepta o eixo y em (0, 0).

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