Esboce o gráfico de f(x)=x^44-3 x^22+2 x+1, determinando os intervalos de crescimento e decrescimento, convavidade/ponto(s) de inflexão e o(s) ponto(s) de máximo(s) e de mínimo(s) local(is), caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função f(x)=x^44-3 x^22+2 x+1 . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas primeiro e segundo, para descobrir onde a função cresce ou decresce, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x) , que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A derivada de f(x) é:
f'(x) = ddx(x^44) - ddx(3x^22) + ddx(2x) + ddx(1)
Calculando cada termo:
f'(x) = x^3 - 3x + 2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos e mínimos locais.
Resolva f'(x) = 0 :
x^3 - 3x + 2 = 0
Vamos tentar fatorar essa equação. Testando x = 1 :
1 - 3 + 2 = 0
Então, x - 1 é um fator. Fazendo a divisão:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2)
Fatorando x^2 + x - 2 :
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Portanto:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)
Os pontos críticos são x = 1 e x = -2 .

Passo 4

Vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para x < -2 :
    Escolha x = -3 :
f'(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 2 = -27 + 9 + 2 = -16 < 0
Então, a função está decrescendo.
  • Para -2 < x < 1 :
    Escolha x = 0 :
f'(0) = 0 - 0 + 2 = 2 > 0
A função está crescendo.
  • Para x > 1 :
    Escolha x = 2 :
f'(2) = 8 - 6 + 2 = 4 > 0
A função continua crescendo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada f''(x) para analisar a concavidade da função e identificar pontos de inflexão. A segunda derivada nos mostra se o gráfico está “sorrindo” (côncavo para cima) ou “chorando” (côncavo para baixo).
Calculando a segunda derivada:
f''(x) = ddx(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3

Passo 6

Vamos encontrar os pontos onde f''(x) = 0 para identificar possíveis pontos de inflexão.
Resolvendo 3x^2 - 3 = 0 :
3x^2 = 3 implies x^2 = 1 implies x = pm 1
Agora, vamos testar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para x < -1 :
    Escolha x = -2 :
f''(-2) = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0
Concava para cima.
  • Para -1 < x < 1 :
    Escolha x = 0 :
f''(0) = 0 - 3 = -3 < 0
Concava para baixo.
  • Para x > 1 :
    Escolha x = 2 :
f''(2) = 12 - 3 = 9 > 0
Concava para cima.
Então, temos pontos de inflexão em x = -1 e x = 1 .

Passo 7

Vamos determinar os pontos máximos e mínimos locais usando os pontos críticos que encontramos ( e ) e a análise da primeira derivada.
  • Em :
    Anteriormente vimos que a função passa de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
  • Em :
    A função permanece crescendo antes e depois de (já que a derivada é positiva nos dois lados), mas com multiplicidade par no fator , isso sugere que pode ser um ponto de inflexão, não um máximo ou mínimo.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:

Resposta

O gráfico de f(x)=x^44-3 x^22+2 x+1 tem os seguintes comportamentos:
  • Intervalos de crescimento: (-2, infty)
  • Intervalos de decrescimento: (-infty, -2)
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em (-infty, -1) e (1, infty)
    • Côncava para baixo em (-1, 1)
  • Pontos de inflexão: x = -1 e x = 1
  • Mínimo local: Em x = -2 com f(-2) = -5
  • Máximo local: Não há máximos locais
Portanto, o esboço do gráfico deve refletir esses pontos e comportamentos.

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