Esboce o gráfico de
, determinando os intervalos de crescimento e decrescimento, convavidade/ponto(s) de inflexão e o(s) ponto(s) de máximo(s) e de mínimo(s) local(is), caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas primeiro e segundo, para descobrir onde a função cresce ou decresce, sua concavidade, pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A derivada de
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos e mínimos locais.
Resolva
:
Vamos tentar fatorar essa equação. Testando
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão:
Fatorando
:
Portanto:
Os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Para
:
Escolha:
Então, a função está decrescendo.
- Para
:
Escolha:
A função está crescendo.
- Para
:
Escolha:
A função continua crescendo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para analisar a concavidade da função e identificar pontos de inflexão. A segunda derivada nos mostra se o gráfico está “sorrindo” (côncavo para cima) ou “chorando” (côncavo para baixo).
Calculando a segunda derivada:
Passo 6
Vamos encontrar os pontos onde
para identificar possíveis pontos de inflexão.
Resolvendo
:
Agora, vamos testar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
- Para
:
Escolha:
Concava para cima.
- Para
:
Escolha:
Concava para baixo.
- Para
:
Escolha:
Concava para cima.
Então, temos pontos de inflexão em
e
.
Passo 7
Vamos determinar os pontos máximos e mínimos locais usando os pontos críticos que encontramos (
e
) e a análise da primeira derivada.
-
Em
:
Anteriormente vimos que a função passa de decrescente para crescente, indicando um mínimo local. -
Em
:
A função permanece crescendo antes e depois de(já que a derivada é positiva nos dois lados), mas com multiplicidade par no fator , isso sugere que pode ser um ponto de inflexão, não um máximo ou mínimo.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Resposta
O gráfico de
tem os seguintes comportamentos:
- Intervalos de crescimento:
- Intervalos de decrescimento:
- Concavidade:
- Côncava para cima em
e - Côncava para baixo em
- Côncava para cima em
- Pontos de inflexão:
e - Mínimo local: Em
com - Máximo local: Não há máximos locais
Portanto, o esboço do gráfico deve refletir esses pontos e comportamentos.