Determine escalares a e b tais que (1,2)=a(1,1)+b(-1,1).
Neste caso, dizemos que (1,2) é uma combinação linear dos vetores (1,1) e (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar escalares a e b tais que o vetor (1,2) seja combinação linear de (1,1) e (-1,1), ou seja,
(1,2) = a\,(1,1) + b\,(-1,1).
Para encontrar a e b, vamos traduzir essa igualdade em um sistema de equações lineares nas componentes.

Passo 2

Escrevendo a combinação nas duas componentes, temos
a\cdot1 + b\cdot(-1) = 1,
a\cdot1 + b\cdot1 = 2.
Ou seja, o sistema é
\begin{cases} a - b = 1,\\\ a + b = 2. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar b, obtemos
(a - b) + (a + b) = 1 + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2a = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac{3}{2}.
Substituindo a = \tfrac{3}{2} em a - b = 1, vem
\tfrac{3}{2} - b = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = \tfrac{3}{2} - 1 = \tfrac{1}{2}.

Resposta

a = \tfrac{3}{2} e b = \tfrac{1}{2}.

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