(a) Mostre que existem números a e b tais que \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}, onde \vec{u}=(1,1), \vec{v}=(2,2) e \vec{w}=(-5,-5).
Neste caso, dizemos que o vetor \vec{w} é uma combinação linear dos vetores \vec{u} e \vec{v}.
(b) Existem a e b tais que \vec{i}=a \vec{u}+b \vec{v} ? Justifique sua resposta.
(c) Dado um vetor qualquer \vec{w}=(x, y), qual a condição para que \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v} ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1), \vec{v}=(2,2) e pede para mostrar que \vec{w}=(-5,-5) é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. O tema aqui é entender combinação linear e o conceito de “span” (espaço gerado) por dois vetores.

Passo 2

Para verificar se existe a,b\) tais que \[\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v},
escrevemos componente a componente. Temos
a\,(1,1)+b\,(2,2)=(a+2b,\,a+2b)
e queremos que isso seja igual a (-5,-5). Logo o sistema é
\begin{cases} a+2b=-5,\\\ a+2b=-5. \end{cases}
Repare que as duas equações são idênticas, ou seja, há infinitas soluções, pois basta escolher b\] livremente e definir \(a=-5-2b.

Passo 3

Para encontrar um exemplo de solução, podemos tomar b=0. Então
a=-5-2\cdot0=-5.
Verificando,
-5\,(1,1)+0\,(2,2)=(-5,-5)=\vec{w}.
Portanto, existem a e b, por exemplo a=-5 e b=0, que satisfazem a parte (a).

Passo 4

Agora, para a parte (b), queremos se existe a,b\) tais que \[\vec{i}=(1,0)=a\vec{u}+b\vec{v}=(a+2b,\,a+2b).
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a+2b=1,\\\ a+2b=0. \end{cases}
Como a mesma expressão a+2b\] não pode ser simultaneamente \(1 e 0, concluímos que não existem a,b que gerem \vec{i}. Em outras palavras, \vec{i} não está na reta gerada por \vec{u} e \vec{v}, que é a reta y=x.

Passo 5

Para a parte (c), seja um vetor genérico \vec{w}=(x,y). Ele será combinação linear de \vec{u} e \vec{v} se e só se existir a,b tais que
(a+2b,\,a+2b)=(x,y).
Isso exige
a+2b=x \quad\text{e}\quad a+2b=y,
logo a condição necessária e suficiente é x=y.

Resposta

(a) Sim. Por exemplo a=-5, b=0 satisfazem \vec{w}=-5\,\vec{u}+0\,\vec{v}.
(b) Não, porque o sistema fica a+2b=1 e a+2b=0, impossível.
(c) A condição é x=y, ou seja, \vec{w} deve estar na reta y=x.

Exercícios relacionados