(a) Mostre que existem números
e
tais que
, onde
,
e
.
Neste caso, dizemos que o vetor
é uma combinação linear dos vetores
e
.
(b) Existem
e
tais que
? Justifique sua resposta.
(c) Dado um vetor qualquer
, qual a condição para que
?
Neste caso, dizemos que o vetor
(b) Existem
(c) Dado um vetor qualquer
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e pede para mostrar que
é combinação linear de
e
. O tema aqui é entender combinação linear e o conceito de “span” (espaço gerado) por dois vetores.
Passo 2
Para verificar se existe
escrevemos componente a componente. Temos
e queremos que isso seja igual a
. Logo o sistema é
Repare que as duas equações são idênticas, ou seja, há infinitas soluções, pois basta escolher
.
Passo 3
Para encontrar um exemplo de solução, podemos tomar
. Então
Verificando,
Portanto, existem
e
, por exemplo
e
, que satisfazem a parte (a).
Passo 4
Agora, para a parte (b), queremos se existe
Isso leva ao sistema
Como a mesma expressão
e
, concluímos que não existem
que gerem
. Em outras palavras,
não está na reta gerada por
e
, que é a reta
.
Passo 5
Para a parte (c), seja um vetor genérico
. Ele será combinação linear de
e
se e só se existir
tais que
Isso exige
logo a condição necessária e suficiente é
Resposta
(a) Sim. Por exemplo
,
satisfazem
.
(b) Não, porque o sistema fica e
, impossível.
(c) A condição é , ou seja,
deve estar na reta
.
(b) Não, porque o sistema fica
(c) A condição é