Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S pode ser LI.
II - Se A é LD, então S pode ser LI.
III - Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define três vetores \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\in\mathbb{R}^{3} e os subconjuntos
A=\{\vec v_{1},\vec v_{2}\},\quad B=\{\vec v_{1},\vec v_{3}\},\quad C=\{\vec v_{2},\vec v_{3}\}.
As afirmativas a testar são sobre colinearidade de dois ou três vetores e dependência linear (LD) ou independência linear (LI). Para três vetores em \mathbb{R}^{3}, eles são LI justamente quando não estão todos num mesmo plano. Dois vetores são LD exatamente se são colineares.

Passo 2

Analisando I: “Se \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} não são colineares, então S pode ser LI.”
Não colinear significa que os três não jazem numa única reta, mas podem ou não estar no mesmo plano. Em particular, existem conjuntos de três vetores não colineares que são LI (por exemplo, uma base \{e_{1},e_{2},e_{3}\}). Portanto, sob a hipótese de não colinearidade, é possível que S seja LI. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Se A é LD, então S pode ser LI.” A LD implica que \vec v_{1} e \vec v_{2} são colineares, digamos \vec v_{2}=c\,\vec v_{1}. Qualquer combinação
a\vec v_{1}+b\vec v_{2}+d\vec v_{3} =a\vec v_{1}+b(c\vec v_{1})+d\vec v_{3} =(a+bc)\vec v_{1}+d\vec v_{3}=0
já admite a relação não trivial a+bc=0, d=0. Assim \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} é sempre LD. Logo, S não pode ser LI e II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Se A,B,C são todos LI, então S é LI.” A,B,C LI significa que nenhum par de vetores é colinear. Contudo, três vetores podem não ser colineares aos pares e ainda assim serem coplanares e LD. Exemplo: \{e_{1},e_{2},e_{1}+e_{2}\} tem todos os pares LI, mas o trio é LD. Logo, III é falsa.

Resposta

(D) Apenas I é verdadeira.

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