(Produto misto como determinante) Sejam \vec{u}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right), \vec{v}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) e \vec{w}=\left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right). Mostre que
\vec{u} \wedge \vec{v} \cdot \vec{w}=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto misto de três vetores \vec{u}=(a_{1},b_{1},c_{1}), \vec{v}=(a_{2},b_{2},c_{2}) e \vec{w}=(a_{3},b_{3},c_{3})
— isto é, (\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{w} — coincide com o determinante da matriz cujas linhas são \vec u, \vec v e \vec w.
Conteúdo: produto vetorial, produto escalar e determinante de matriz 3\times3.

Passo 2

Começamos aplicando a definição do produto vetorial.
\vec{u}\wedge\vec{v} = \bigl(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2},\;c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2},\;a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar desse vetor com \vec w=(a_{3},b_{3},c_{3}):
(\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{w} = (b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\,a_{3} + (c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2})\,b_{3} + (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})\,c_{3}.

Passo 4

Reorganizando termos, obtemos
(\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{w} = a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3}) - b_{1}(a_{2}c_{3}-c_{2}a_{3}) + c_{1}(a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3}).
Mas essa é exatamente a expansão do determinante da matriz
\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}
pela primeira linha.

Resposta

\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{w} =\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}.

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