Justifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Seja S=\langle\{(1,0,2),(-1,0,1)\}\rangle o subespaço vetorial gerado por (1,0,2) e (-1,0,1). Então (-1,0,4) \in S.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço S=\langle\{(1,0,2),(-1,0,1)\}\rangle gerado pelos vetores (1,0,2) e (-1,0,1) e pergunta se o vetor (-1,0,4) pertence a S.
Informações relevantes fornecidas:
Vetor gerador v_1=(1,0,2).
Vetor gerador v_2=(-1,0,1).
Vetor a testar w=(-1,0,4).
Pedido: decidir (com justificativa) se w\in S.
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicação didática): o subespaço \langle\{v_1,v_2\}\rangle é o conjunto de todas as combinações lineares de v_1 e v_2. Ou seja,
Observação didática: a segunda equação é 0=0\], que é sempre verdadeira e não impõe restrição adicional; portanto restam duas equações efetivas nas duas incógnitas \(\alpha,\beta.]
Passo 4
Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações relevantes:
Uma maneira simples de resolver é somar as duas equações para eliminar \beta. Somando:
(\alpha-\beta)+(2\alpha+\beta)= -1+4.
No lado esquerdo os termos -\beta e +\beta se anulam, ficando
3\alpha = 3.
Logo
\alpha=1.
Substituindo \alpha=1 em \alpha-\beta=-1 temos
1-\beta=-1,
portanto
-\beta=-2\quad\Rightarrow\quad \beta=2.]
Passo 5
Verificação (para ficar seguro): com \alpha=1\) e \(\beta=2\),
\[\alpha v_1+\beta v_2 = 1\cdot(1,0,2)+2\cdot(-1,0,1) = (1,0,2)+(-2,0,2) = (-1,0,4),
que é exatamente w. Isso mostra explicitamente que existem escalares \alpha e \beta que representam w como combinação linear de v_1 e v_2.
Passo extra (didático sobre unicidade): se os geradores v_1 e v_2 forem linearmente independentes, a representação de w por \alpha v_1+\beta v_2 é única. Para checar independência, considere a v_1 + b v_2 = (0,0,0). Isso gera o sistema
\begin{cases} a-b=0,\\[4pt] 2a+b=0, \end{cases}
que implica a=b\] e então \(3a=0, portanto a=b=0. Logo v_1 e v_2 são linearmente independentes e a solução \alpha=1,\beta=2 é única.]