Encontra a matriz A que possui o seguinte espaço coluna:
C(A)=\left\{\left[\begin{array}{c} x-2 y \\\\ 3 y \\\ x+y \end{array}\right]: x, y \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz A tal que o espaço coluna de A seja
C(A)=\left\{\left[\begin{array}{c} x-2 y \\\\ 3 y \\\ x+y \end{array}\right]: x, y \in \mathbb{R}\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • Vetores do espaço coluna são parametrizados por x e y.
  • Cada vetor tem três componentes: \,x-2y,\;3y,\;x+y.
  • Precisamos dar uma matriz A cujo conjunto de combinações lineares das colunas seja exatamente esse conjunto.

Passo 2

Vamos reescrever o vetor genérico do espaço coluna como soma de duas partes (fatorando os parâmetros x e y). Escrevo:
\left[\begin{array}{c} x-2y\\[4pt] 3y\\[4pt] x+y \end{array}\right] = x\left[\begin{array}{c} 1\\[4pt] 0\\[4pt] 1 \end{array}\right] + y\left[\begin{array}{c} -2\\[4pt] 3\\[4pt] 1 \end{array}\right].
Explicando o que fiz: se eu multiplico a primeira coluna por x e a segunda por y e somo, a primeira linha fica x + (-2)y = x-2y, a segunda fica 0\cdot x + 3\cdot y = 3y e a terceira fica 1\cdot x + 1\cdot y = x+y. Portanto qualquer vetor do conjunto é combinação linear dessas duas colunas.]

Passo 3

Lembrete rápido e prático: o espaço coluna de uma matriz é exatamente o conjunto de todas as combinações lineares de suas colunas. Então, se eu montar uma matriz cujas colunas sejam justamente os vetores que aparecem como coeficientes de x e y na decomposição acima, o espaço coluna dessa matriz será o conjunto pedido.
Escolho as colunas
v_1=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right],\qquad v_2=\left[\begin{array}{c}-2\\[4pt]3\\[4pt]1\end{array}\right].
Formo a matriz A colocando v_1 e v_2 como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -2\\[4pt] 0 & 3\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificação (para você confiar no resultado): seja um vetor qualquer da forma dada pelo enunciado. Pela decomposição do Passo 2, ele é x v_1 + y v_2, ou seja, pertence a \operatorname{span}\{v_1,v_2\}, que é exatamente C(A). Reciprocamente, qualquer combinação linear c_1 v_1 + c_2 v_2 pode ser escrita na forma com x=c_1 e y=c_2, então pertence ao conjunto original. Assim os conjuntos coincidem:
C(A)=\left\{\left[\begin{array}{c} x-2 y \\\\ 3 y \\\ x+y \end{array}\right]: x, y \in \mathbb{R}\right\}.
Observação: essa é a escolha mais simples (matriz 3\times2). Poderíamos também formar uma 3\times3 adicionando uma coluna que seja combinação linear das duas colunas, sem alterar o espaço coluna.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 1 & -2\\[4pt] 0 & 3\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}]

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