Determine o espaço gerado pelos vetores abaixo
p(x)=x-2 x^{2}, q(x)=-3+2 x-x^{2}, r(x)=3, s(x)=-2 x^{2} de P_{2}

Passo 1

O enunciado dá quatro polinômios em P_2:
p(x)=x-2x^2,\quad q(x)=-3+2x-x^2,\quad r(x)=3,\quad s(x)=-2x^2
e pede o espaço gerado por eles, isto é,
\mathrm{Span}\{p,q,r,s\}\subseteq P_2.
Para decidir esse espaço, vamos representar cada polinômio pelas coordenadas em relação à base canônica \{1,x,x^2\} e verificar se com combinações lineares podemos obter um polinômio genérico c_0+c_1x+c_2x^2.

Passo 2

Escrevendo cada vetor pelas coordenadas \bigl(c_0,c_1,c_2\bigr) em \{1,x,x^2\}:
p\sim(0,1,-2),\quad q\sim(-3,2,-1),\quad r\sim(3,0,0),\quad s\sim(0,0,-2).

Passo 3

Queremos mostrar que dado um polinômio arbitrário
f(x)=c_0 + c_1x + c_2x^2
existe uma combinação
A\,p + B\,q + C\,r + D\,s = f.
Em coordenadas isso vira o sistema
\begin{cases} -3B + 3C = c_0,\\\ A + 2B = c_1,\\\\ -2A - B - 2D = c_2. \end{cases}
Podemos, por exemplo, tomar B livre e resolver
\begin{aligned} C &= \frac{c_0 + 3B}{3},\\\ A &= c_1 - 2B,\\\ D &= \frac{-c_2 -2c_1 +3B}{2}. \end{aligned}
Como sempre existe solução real para A,B,C,D, todo polinômio de grau <=2 está no span. Logo
\mathrm{Span}\{p,q,r,s\}=P_2.

Passo 4

Como \dim P_2=3, basta extrair 3 vetores independentes de \{p,q,r,s\}. Por exemplo,
r(x)=3,\quad p(x)=x-2x^2,\quad s(x)=-2x^2
são linearmente independentes e formam uma base de P_2.

Resposta

\mathrm{Span}\{p,q,r,s\}=P_2. Uma possível base desse espaço é \{r,p,s\}.

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