Determine o espaço gerado pelos vetores abaixo
\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 4 \\\\ -1 & -3\end{array}\right) de M_{2 \times 2}(\mathbf{R})

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subespaço de M_{2\times2}(\mathbb R) gerado pelas matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt]0 & 4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}0 & 4 \\[6pt]-1 & -3\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve combinação linear, subespaço gerado e verificação de independência linear.]

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear genérica
xA + yB \quad\text{com \(x,y\in\mathbb R\).}
Calculando entrada a entrada, obtemos
xA + yB = x\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&4\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0&4\\\ -1&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & x+4y \\[4pt] -\,y & 4x-3y \end{pmatrix}.]

Passo 3

Assim o subespaço gerado pode ser descrito como
\Bigl\{ \begin{pmatrix} x & x+4y \\[4pt] -\,y & 4x-3y \end{pmatrix} \;\Big|\;x,y\in\mathbb R \Bigr\}.]

Passo 4

Para ver que não há redundância, suponha \,xA + yB = 0\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} x = 0,\\\ x+4y = 0,\\\\ -\,y = 0,\\\\ 4x-3y = 0, \end{cases}
cuja única solução é x = y = 0\]. Logo \(A e B são linearmente independentes e formam uma base do subespaço.

Passo 5

Concluímos que o espaço gerado é bidimensional e tem como base \{A,B\}. Em forma paramétrica, é
\mathrm{Span}\{A,B\} = \Bigl\{ xA + yB \;\Big|\;x,y\in\mathbb R \Bigr\}.

Resposta

\mathrm{Span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&4\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&4\\\ -1&-3\end{pmatrix}\Bigr\} = \Bigl\{ \begin{pmatrix} x & x+4y \\[4pt] -\,y & 4x-3y \end{pmatrix} \;\Big|\;x,y\in\mathbb R \Bigr\}.]

Exercícios relacionados