Marque Verdadeiro ou Falso e justifique sua resposta: todo espaço vetorial sobre k é infinito, onde k é um corpo qualquer.

Passo 1

O enunciado pergunta se “todo espaço vetorial sobre um corpo k é infinito”. Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente à definição de espaço vetorial e à noção de cardinalidade (tamanho) de conjuntos. Para responder, precisamos lembrar que um espaço vetorial é apenas um conjunto com operações que obedecem certos axiomas, sem impor nada sobre seu tamanho.

Passo 2

Um contraexemplo simples é o espaço vetorial trivial, isto é, o conjunto formado somente pelo vetor zero. Definimos
V = \{0\}
com as operações usuais (soma e multiplicação por escalar). Verifica-se facilmente que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre qualquer corpo k.

Passo 3

O conjunto V=\{0\} tem exatamente um elemento, logo é finito. Isso já basta para mostrar que nem todo espaço vetorial é infinito.

Passo 4

Outros exemplos de espaços vetoriais finitos ocorrem sempre que o corpo k for finito e a dimensão de V for finita. Por exemplo, se k=\mathbb{F}_q (o campo com q elementos) e \dim V=n, então
|V| = q^n < \infty.

Resposta

Falso.

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