Marque Verdadeiro ou Falso e justifique sua resposta: todo espaço vetorial sobre k é infinito, onde k é um corpo qualquer.
Passo 1
O enunciado pergunta se “todo espaço vetorial sobre um corpo
é infinito”. Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente à definição de espaço vetorial e à noção de cardinalidade (tamanho) de conjuntos. Para responder, precisamos lembrar que um espaço vetorial é apenas um conjunto com operações que obedecem certos axiomas, sem impor nada sobre seu tamanho.
Passo 2
Um contraexemplo simples é o espaço vetorial trivial, isto é, o conjunto formado somente pelo vetor zero. Definimos
com as operações usuais (soma e multiplicação por escalar). Verifica-se facilmente que
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre qualquer corpo
.
Passo 3
O conjunto
tem exatamente um elemento, logo é finito. Isso já basta para mostrar que nem todo espaço vetorial é infinito.
Passo 4
Outros exemplos de espaços vetoriais finitos ocorrem sempre que o corpo
for finito e a dimensão de
for finita. Por exemplo, se
(o campo com
elementos) e
, então
Resposta
Falso.