Questão 2: (2 pontos) Seja o subespaço W o plano x+2 y+4 z=0 \mathrm{em} \mathbb{R}^{3}. Encontrar uma base de W. É possivel obter uma base de \mathbb{R}^{3} usando a base de W? Se sim, como se faz?

Passo 1

O enunciado define o subespaço W\subset\mathbb R^3 dado por
W=\{(x,y,z)\mid x+2y+4z=0\}
e pede uma base de W. Em seguida questiona se a partir dessa base de W podemos obter uma base de \mathbb R^3. O conteúdo envolve solução de equação linear em parâmetros, base de subespaço e extensão de base.

Passo 2

Para achar a base de W resolvemos a equação
x+2y+4z=0.
Isolando x em função de y e z, temos
x=-2y-4z.
Logo todo vetor (x,y,z)\in W pode ser escrito como combinação linear
(x,y,z)=(-2y-4z,y,z) =y\cdot(-2,1,0)+z\cdot(-4,0,1).

Passo 3

Dos coeficientes paramétricos identificamos dois vetores geradores de W:
v_1=(-2,1,0), \quad v_2=(-4,0,1).
Verificamos que v_1 e v_2 são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial anula ambos), logo formam uma base de W.

Passo 4

Para estender essa base de W a uma base de \mathbb R^3 basta acrescentar um vetor que não pertença a W. Por exemplo, o vetor normal ao plano
n=(1,2,4)
não satisfaz x+2y+4z=0, pois 1+2\cdot2+4\cdot4=21\neq0. Assim \{v_1,v_2,n\}
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em \mathbb R^3, formando uma base de \mathbb R^3.

Resposta

A base de W pode ser
\{\,(-2,1,0),\,(-4,0,1)\}.
Sim: adicionando um vetor fora de W (por exemplo (1,2,4)) obtemos
\{\,(-2,1,0),\;(-4,0,1),\;(1,2,4)\}
que é uma base de \mathbb R^3.

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