Questão 2: (2 pontos) Seja o subespaço W o plano
. Encontrar uma base de W. É possivel obter uma base de
usando a base de W? Se sim, como se faz?
Passo 1
O enunciado define o subespaço
dado por
e pede uma base de
. Em seguida questiona se a partir dessa base de
podemos obter uma base de
. O conteúdo envolve solução de equação linear em parâmetros, base de subespaço e extensão de base.
Passo 2
Para achar a base de
resolvemos a equação
Isolando
em função de
e
, temos
Logo todo vetor
pode ser escrito como combinação linear
Passo 3
Dos coeficientes paramétricos identificamos dois vetores geradores de
:
Verificamos que
e
são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial anula ambos), logo formam uma base de
.
Passo 4
Para estender essa base de
a uma base de
basta acrescentar um vetor que não pertença a
. Por exemplo, o vetor normal ao plano
não satisfaz
, pois
. Assim
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em , formando uma base de
.
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em
Resposta
A base de
pode ser
Sim: adicionando um vetor fora de
(por exemplo
) obtemos
que é uma base de
.