Determine se o espaço solução do sistema A X=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha a equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 2 & -4 & -5\end{array}\right]

Passo 1

Resumindo: queremos caracterizar o espaço solução do sistema A X=0, em que
A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 0\\\\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix},
isto é, encontrar todas as soluções (x,y,z) de
-1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z = 0, \quad 3\cdot x -1\cdot y + 0\cdot z = 0, \quad 2\cdot x -4\cdot y -5\cdot z = 0.
O objetivo é ver se o espaço solução é apenas a origem, uma reta pela origem ou um plano pela origem, e em seguida descrever esse subespaço.

Passo 2

Fazemos eliminação de Gauss para achar o posto de A e a forma reduzida. Primeiro, multiplicamos a primeira linha por -1 e depois zeramos abaixo em sua coluna:
\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 0\\\\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_1\leftarrow -R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 3 & -1 & 0\\\\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix}
R_2\leftarrow R_2 - 3R_1,\quad R_3\leftarrow R_3 - 2R_1 \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Finalmente, somamos a segunda linha à terceira:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & -2 & -3 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3 + R_2}\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Como restaram duas linhas não nulas, o posto de A é 2.

Passo 3

Da forma escalonada obtemos o sistema equivalente
\begin{cases} x - y - z = 0,\\\\ 2y + 3z = 0. \end{cases}
Note que temos 3 variáveis e 2 equações independentes, logo a nulidade é 3-2=1. Isso indica que o espaço solução é uma reta pela origem.

Passo 4

Da segunda equação,
2y + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{3}{2}\,z.
Substituindo em x - y - z = 0,
x = y + z = -\tfrac{3}{2}\,z + z = -\tfrac12\,z.
Tomamos parâmetro t = z. Assim
x = -\tfrac12\,t,\quad y = -\tfrac32\,t,\quad z = t.
Para eliminar frações, defina s = 2t. Então
x = -s,\quad y = -3s,\quad z = 2s,
ou seja, todo vetor solução é
(x,y,z) = s\,(-1,\,-3,\,2),
com s\in\mathbb{R}.

Resposta

O espaço solução é uma reta que passa pela origem, dada parametricamente por
(x,y,z) = s\,(-1,\,-3,\,2),\quad s\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados