Exercício 8. Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20 \% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio. Quantos alunos compraram somente um bilhete?

Passo 1

O enunciado trata de uma rifa em que, de um colégio com x alunos, 80 faltaram e os que foram compraram:
y alunos compraram 3 bilhetes;
45 alunos compraram 2 bilhetes;
z alunos compraram 1 bilhete.
O total de bilhetes vendidos excede em 33 o número total de alunos x e ainda sabermos que z equivale a 20\% do total de bilhetes.
Conteúdo: modelagem com sistema de equações e porcentagem.

Passo 2

Definimos as equações a partir das informações:
  1. Número de presentes:
y + 45 + z = x - 80
  1. Total de bilhetes vendidos =3y + 2\cdot45 + 1\cdot z excede x em 33:
3y + 90 + z = x + 33
  1. O total de alunos que comprou um bilhete é 20\% do total de bilhetes:
z = \tfrac{1}{5}\,(3y + 90 + z)

Passo 3

Manipulando a equação da porcentagem:
z = \tfrac{1}{5}(3y + 90 + z) \quad\Longrightarrow\quad 5z = 3y + 90 + z \quad\Longrightarrow\quad 4z = 3y + 90 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{3y + 90}{4}.

Passo 4

Da equação (1) isolamos x:
x = y + 45 + z + 80 = y + z + 125.
Substituímos em (2):
3y + 90 + z = (y + z + 125) + 33 = y + z + 158 \quad\Longrightarrow\quad 2y + 90 = 158 \quad\Longrightarrow\quad y = 34.

Passo 5

Com y=34, temos
z = \frac{3\cdot34 + 90}{4} = \frac{102 + 90}{4} = \frac{192}{4} = 48.
Verificação rápida: total de bilhetes =3\cdot34+90+48=240, que é 33 a mais que x=34+48+125=207, e 48 é 20\% de 240.

Resposta

48

Exercícios relacionados